''Wellengleichung'' für die Materiewellen:
Die Schrödinger-Gleichung.

Aus den Überlegungen von Einstein und de Broglie folgt

$$E=\hbar \omega ,\quad p=\hbar k,$$

daher:

$$\psi (x,t)=\frac{1}{\hbar }\int f(p)e^{\frac{i}{\hbar }(px-Et)}dp$$

(vorerst werden alle Integrale als konvergent ''in irgendeinem Sinne'' angenommen).

• Nichtrelativistisches freies Teilchen / freie Welle:
  
  $$E=\frac{1}{2m}p^{2}.$$
  
  
  Es gilt:
  
  $$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\psi (x,t)=\int Ef(p)e^{\frac{i}{\hbar }% (px-Et)}dp,$$
  
  
  
  
  $$-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}\psi (x,t)=\int pf(p)e^{\frac{i}{\hbar }% (px-Et)}dp,$$
  
  
  und
  
  $$-\hbar ^{2}\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}\psi (x,t)=\int p^{2}f(p)e^{% \frac{i}{\hbar }(px-Et)}dp.$$
  
  
  Daher:
  
  $$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\psi (x,t)=-\hbar ^{2}\frac{\partial ^{2}% }{\partial x^{2}}\psi (x,t)$$
  
  
  (Schrödinger-Gleichung)

• In einem Potential:
  
  $$E=\mathcal{H}=\frac{1}{2m}p^{2}+U(x).$$
  
  
  Am Anfang nehmen wir an, dass das Potential $U(x)$ sich kaum auf der typischen Wellenlängenskala ändert. Dann kann man annehmen
  
  $$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\psi (x,t)=-\hbar ^{2}\frac{\partial ^{2}% }{\partial x^{2}}\psi (x,t)+U(x)\psi (x,t).$$
  
  
  Diese Gleichung wird als allgemein gültig angenommen (im nicht-relativistischen Bereich). I.A.
  
  $$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\psi (\mathbf{r},t)=\left... ...a \psi (\mathbf{r},t)+U(\mathbf{r})\right] \psi (\mathbf{r},t)$$
  
  
  mit $\Delta =\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2}}{% \partial y^{2}}+\frac{\partial ^{2}}{\partial z^{2}}$ - Laplace-Operator.