Der Begriff des Operators

• Die Funktion $\frac{\partial \psi }{\partial t}$ kann als ein Resultat der Einwirkung eines Operators $\frac{\partial }{\partial t}$ (der in einem entsprechenden Funktionsraum definiert ist) auf die Fkt. $% \psi$ gesehen. Dieser definiert eine eindeutige Korrespondenz $\psi \longmapsto \frac{% \partial \psi }{\partial t}$. i.A.
  
  $$\phi =\hat{A}\psi .$$
  
  
  Der Operator $A$ ist linear falls
  
  $$\hat{A}\left( \lambda _{1}\psi _{1}+\lambda _{2}\psi _{2}\ri... ...\psi _{1}\right) +\hat{A}\left( \lambda _{2}\psi _{2}\right) .$$
  
  
  Andere Eigenschaften der linearen Operatoren:
  
  $$(c\hat{A})\psi =c\left( \hat{A}\psi \right) ,$$
  
  
  
  
  $$\left( \hat{A}+\hat{B}\right) \psi =\hat{A}\psi +\hat{B}\psi .$$
  
  
  In einer Schrödinger-Gleichung treffen wir auf die Differenzialoperatoren $% \partial /\partial t$, $\partial ^{2}/\partial x^{2}$,..., und die Operatoren, die dem Produkt von Fkt. ensprechen: $\phi =\hat{A}\psi =U(% \mathbf{r},t)\psi$.

• Das Produkt der Operatoren. Definieren wir den Operator $\hat{P}=% \hat{A}\hat{B}$ als
  
  $$\hat{P}=\hat{A}\hat{B}\psi =\hat{A}\left( \hat{B}\psi \right) .$$
  
  
  Das Produkt ist i. A. nicht kommutativ:
  
  $$\hat{A}\hat{B}\psi \neq \hat{B}\hat{A}\psi .$$
  
  
  Wenn dennoch
  
  $$\hat{A}\hat{B}\psi =\hat{B}\hat{A}\psi$$
  
  
  gilt, sagt man, dass $\hat{A}$ und $\hat{B}$ kommutieren. Die Differenz ist
  
  $$\left[ \hat{A},\hat{B}\right] =\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}.$$
  
  
  z.B. $\hat{A}=\partial /\partial x$, $\hat{B}=f(x)\cdot$.
  
  $$\hat{A}\hat{B}\psi =\frac{\partial }{\partial x}\left( f(x)\... ...artial f}{\partial x}\psi +f\frac{\partial \psi }{\partial x}.$$
  
  
  Anderseits,
  
  $$\hat{B}\hat{A}\psi =f\frac{\partial \psi }{\partial x}$$
  
  
  so dass
  
  $$\left[ \frac{\partial }{\partial x},f\cdot \right] =\frac{\partial f}{% \partial x}\cdot$$
  
  
  Alle Differentialoperatoren kommutieren miteinender.