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Schrödinger-Gleichung: Das Kochrezept.

Anhand des Korrespondenzprinzips geben wir ein folgendes Rezept der Zubereitung einer Schrödinger-Gleichung. Schritte:

1) Schreibe die klassische Hamiltonfunktion

\begin{displaymath}
H=H(q_{1},...,q_{s};p_{1},...,p_{n};t)=H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)
\end{displaymath}

für konjugierte Koordinaten $q_{i}$ und Impulse $p_{i}$ (Kartesische Koordinaten bevorzugt!).

2) Ordnen wir dem klassischen System ein Quantensystem zu, dessen Zustand durch $\psi (q_{1},...,q_{s},t)$ zu beschreiben gilt.

3) Ordnen wir der Hamilton-Fkt. einen Hamilton-Operator (Hamiltonian) $\hat{H}$ zu:

\begin{displaymath}
\hat{H}=H(q_{1},...,q_{s};-i\hbar \frac{\partial }{\partial q_{1}}%
,...,-i\hbar \frac{\partial }{\partial q_{1}};t).
\end{displaymath}

4) Wenn es in der Hamilton-Fkt. die Mischglieder von Typ $p_{i}f(\mathbf{q})$ vorkommen, symmetrisieren wir die Ausdr'ucke:

\begin{displaymath}
p_{i}f(\mathbf{q})\rightarrow \frac{1}{2}\left( -i\hbar \fra...
...(\mathbf{q})i\hbar \frac{\partial }{%
\partial q_{i}}\right) .
\end{displaymath}

5) Schreiben wir

\begin{displaymath}
i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\psi =\hat{H}\psi .
\end{displaymath}

Zubereitunszeit 10 Minuten.



Subsections

Prof. Igor Sokolov 2005-02-14