Beispiel: Elektron im Magnetfeld.

Klassische Bewegungsgleichungen:

$$m\mathbf{a}=m\mathbf{\dot{v}}=e\left( \mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}% \right)$$

Die Felder $\mathbf{E}$ und $\mathbf{B}$ sind durch

$$\begin{eqnarray*} \mathbf{E} &=&-div~\varphi \\ \mathbf{B} &=&rot~\mathbf{A} \end{eqnarray*}$$

gegeben. Die Lagrange-Funktion lautet

$$L=\frac{mv^{2}}{2}+e\left( \mathbf{vA}-\varphi \right) .$$

Daher ist die Hamilton-Funktion

$$\begin{eqnarray*} H &=&\frac{1}{2m}\left( \mathbf{p}-e\mathbf{A}\right) ^{2}+e\v... ...c{1}{2m}\left( p^{2}-2e\mathbf{pA}+e^{2}A^{2}\right) +e\varphi . \end{eqnarray*}$$

Die Korrespondenzregel $\mathbf{p}=-i\hbar \nabla$ und die Symmetrisierung des Glieds $\mathbf{pA}$ ergibt:

$$\hat{H}=\frac{1}{2m}\left[ -\hbar ^{2}\Delta +i\hbar e\left(... ...a \mathbf{% A+2A}\nabla \right) +e^{2}A^{2}\right] +e\varphi .$$