Gebundene Zustände.

Betrachten wir zunächst die Energie $U_{0}<E<0$ (den Fall $0<E$ werden wir später betrachten; man kann auch zeigen (gleiche Methode wie hier!), dass es keine Zustände gibt mit $E<U_{0}$). In diesem Fall für $\xi <-1/2$ (und für $\xi >1/2$) hat man $\epsilon <\nu$ und für $% -1/2<\xi <1/2$ hat man $\epsilon >\nu$.

Teillösungen: Ab hier $\varepsilon =-\epsilon > 0.$

Für $\xi \rightarrow -\infty$ hat man $\psi (\xi )\rightarrow 0$ (sonnst ist $\psi$ nicht integrabel). Daher ist die einzige Lsg links von der Mulde

$$\psi (\xi )=a\exp (k_{1}\xi )=a\exp (\pi B\sqrt{\varepsilon }\xi )\qquad (\xi <-1/2)$$

und für $\xi \rightarrow \infty$ hat man gleichermaßen

$$\psi (\xi )=d\exp (k_{1}\xi )=d\exp (-\pi B\sqrt{\varepsilon }\xi )\qquad (x>1/2).$$

In der Mulde gilt

$$\psi (\xi )=b\sin \left( \underbrace{\pi B\sqrt{(1-\varepsil... ...repsilon )}} _{k_{2}}\xi \right) =b_{1}\sin (k_{2}\xi +\phi ).$$

Das ''Zusammennähen'': die Fkt. und ihre Ableitung sind am Orten $-1/2$ und $1/2$ stetig.

Die Kontinuitätsbedingungen für die Funktion und für ihre Ableitung. Trick: da $\psi$ und $\psi ^{\prime }$ stetig sind, und da an $\xi =\pm 1/2$ $\psi \neq 0$ ist (kann man nachträglich nachprüfen), sollen die logarithmische Ableitungen $\psi ^{\prime }/\psi =\frac{d}{d\xi }\ln \psi$ an beiden Seiten der Potentialsprünge gleich sein. Daher:

$$k_{1}=k_{2}\cot (-k_{2}/2+\phi )$$

und $-k_{1}=k_{2}\cot (k_{2}/2+\phi )$ oder

$$k_{1}=k_{2}\cot (-k_{2}/2-\phi )$$

$$\mbox{Arccot}\left( \frac{k_{1}}{k_{2}}\right) =\mbox{Arctan... ...l} -k_{2}/2+\phi \\ -k_{2}/2-\phi +2\pi n \end{array}\right.$$

($n=0,1,...$; wir nehmen $\phi \in [-\pi/2,\pi /2]$.) $\Rightarrow$

$$\pi n-k_{2}=2\mbox{Arctan}\left( \frac{k_{2}}{k_{1}}\right) .$$

Jetzt: $k_{2}=\pi B\sqrt{1-\varepsilon }$, $\frac{k_{2}}{k_{1}}= \sqrt{(1-\varepsilon )/\varepsilon }$ so dass

$$\pi n-\pi B\sqrt{1-\varepsilon }=2\tan ^{-1}\sqrt{\frac{1-\varepsilon } {\varepsilon }}=2\mbox{Arcsin}\sqrt{1-\varepsilon}$$

(Trigonometrie!). Wenn wir $\kappa =\sqrt{1-\varepsilon }$ nehmen, dann erhalten wir

$$\pi n-\pi B\kappa =2\mbox{Arcsin}\kappa ,$$

($0<\kappa <1$)$.$ Die rechte Seite der Gl. ändert sich zw. 0 und $\pi$, siehe Bild.

Das heißt: $\pi (n-1)<\pi B\kappa _{n}<\pi n$

• die Anzahl $n$ der verschiedenen Lösungen ist $N=\left[ 1+B\right]$.
  • Der Born'sche Parameter ist eine wichtige dimensionslose Kombination und hat einen klaren physikalischen Sinn. Die kinetische Energie $T_L$ eines Zustandes, der auf einer Längenskala $L$ lokalisiert wird (und daher einer de Broglie-Welle mit den Wellenwektor $k\simeq 1/L$ entspricht), ist $T_L=p^2/2m \simeq \hbar^2 / (2ml^2)$. Daher stellt $B$ einen Quotienten dieser kinetischen Energie und der Tiefe des Topfes $U_0$: $B \sim T_L/U_0$ dar. Z.B. ist die Energie des Grundzustandes in einem rechteckigen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden (vom Boden des Topfes gerechnet) $E_1=\pi^2 \hbar^2 / (m L^2)$, und die Energie des $n$-ten gebundenen Zustandes ist $E_n= n^2 \pi^2 \hbar^2 / (m L^2)=n^2 E_1$. Der Born'sche Parameter $B$ zeigt, wie viele solcher Zustände in den Topf der Tiefe $U_0$ ''reinpassen''.

  • Das ist ein Spezialfall einer allgemeinen Beziehung: in einem anziehenden Potential $U(x)<0$, mit einem Minimalwert der 2 asymptotischen Werte $U_{\infty }=\min \left( \lim_{x\rightarrow \pm \infty }U(x)\right)$
    
    $$N\simeq B=\frac{1}{\pi }\int \frac{\sqrt{2m(U_{\infty }-U(x))}}{\hbar }dx$$
    
    
    wo integriert wird über die Gebiete wo $U(x)<U_{\infty }$. Wenn dieses Integral divergiert, ist die Anzahl der gebundenen Zustände unendlich.

• Die entsprechenden Energien $\epsilon =-\varepsilon =\kappa _{n}^{2}-1$ bilden eine endliche wachsende Folge, vom Grungzustand $\epsilon _{0}$ bis zum höchsten gebundenen Zustand $\epsilon _{N}$.

• $\phi$ ist noch nicht fixiert. Die Rechnung zeigt, dass für $n$ ungerade (1,3,..., ) $\phi =\pi /2$ und für $n$ gerade $\phi =0$. Es ist schon aus Symmetriegründen klar, dass die Lösungen $\psi ^{2}(x)$ für $\phi =0$ und $\phi =\pi /2$ die Spiegelsymmetrie des anfänglichen Physikalischen Problems haben. D.h. jeder Zustand in einem symmetrischen Potential hat eine wohldefinierte Parität. Die WF ist gerade für ungeraden $n$ und ungerade für gerade $n$. Der Grundzustand hat keine Nulldurchgänge (Knoten) und ist gerade.

• Die Funktion $b_{1}\sin (k_{2}\xi +\phi )=b_{1}\sin \left( \pi B\kappa _{n}\xi +\phi \right)$ (und damit die ganze Wellenfunktion, da die exponentiellen Teile ausserhalb der Mulde nicht oscillieren) hat genau $n-1$ Nulldurchgänge (Knoten). (Speziallfall des Oszillationstheorems).