Spezialfall: Das $\delta$-Potential.

Betrachten wir jetzt genauer den Spezialfall $B \rightarrow 0$, mit nur einem gebundenen Zustand. In diesem Fall existiert nur eine Lösung der Gl. $\pi n-\pi B\kappa =2\mbox{Arcsin}\, \kappa$ (siehe Bild) mit $\kappa \approx 1$. Da in diesem Fall $\mbox{Arcsin}\, \kappa \approx \pi/2 -\sqrt{2(1-\kappa)}$, bekommen wir $\vert\epsilon \vert =\varepsilon = 1-\kappa^2 \approx \pi^2 B^2 /4$. In natürlichen Einheiten erhalten wir

$$E = U_0 \epsilon \simeq \frac{m L^2 U_0^2}{2 \hbar^2}.$$

Dieses Resultat stimmt in allen Fällen wenn $B \rightarrow 0$, d.h. in einem sehr tiefen aber schmalen Topf, sovie in einem Topf, der breit, aber flach ist.

Betrachten wir nochmals den Grenzfall $U(x)\rightarrow \infty$, $L\rightarrow 0$, aber $UL=a=const$. In diesem Fall haben wir $U(x)\rightarrow a\delta (x)$. Die Schrödinger-Gl. lautet:

$$\left( -\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{2ma}{\hbar ^{2}}\delta (x)\right) \psi (x)=\frac{2mE}{\hbar ^{2}}\psi (x).$$

Links und rechts von dem $\delta$-Potential haben wir die Lösungen

$$\psi _{-}(x)=A_{-}\exp \left( \sqrt{\frac{2m\left\vert E\right\vert }{\hbar ^{2}}}x\right)$$

und

$$\psi _{+}(x)=A_{+}\exp \left( -\sqrt{\frac{2m\left\vert E\right\vert }{\hbar ^{2}}}x\right) .$$

Die Wellenfunktion ist stetig, d.h. $A_{+}=A_{-}=A=\psi (0)$. Die Integration der beiden Seiten der Gl. zwischen $-\varepsilon$ und $% \varepsilon$ ergibt

$$-\frac{\partial }{\partial x}\psi _{-}(-\varepsilon )+\frac{... ...prox 2\varepsilon \frac{2mE}{\hbar ^{2}}\psi (0)\rightarrow 0.$$

Die Ableitung von $\psi$ erfährt in $x=0$ einen endlichen Sprung, d.h.

$$2A\sqrt{\frac{2m\left\vert E\right\vert }{\hbar ^{2}}}=A\frac{2ma}{\hbar ^{2}}.$$

Daher ist die Energie des gebundenen Zustands

$$E=-\frac{ma^{2}}{2\hbar ^{2}}.$$