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Beispiel: Das Rechteckpotential.

\begin{figure}\begin{center}\epsfxsize = 3.5in
\epsffile{Rechteck.eps}
\end{center}\end{figure}

Die stationäre Schrödinger-Gl. ist

\begin{displaymath}
\left( -\frac{\hbar ^{2}}{2m}\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}
+U(x)\right) \psi (x)=E\psi (x),
\end{displaymath}

mit Parametern: Längenskala $L$, Energieskala $U_{0}$. Dimensionslose Länge $\xi =x/L$, dimensionslose Energie $\varepsilon =E/U_{0}$, $v=U(x)/U_{0}$.

\begin{displaymath}
\left( -\frac{\hbar ^{2}}{2mL^{2}U_{0}}\frac{\partial ^{2}}{...
...(\xi )}{U_{0}}\right) \psi (\xi )=\frac{E}{U_{0}}\psi (\xi ),
\end{displaymath}

Der dimensionslose Parameter $B^{2}=(2/\pi ^{2}\hbar ^{2})mL^{2}U_{0}=\frac{2}{h^{2}}mL^{2}U_{0}$ (d.h. $B=\frac{L}{h}\sqrt{2mU}$) wird der BORN'sche Parameter genannt. Die SGl. lässt sich daher in der folgenden Form schreiben:
\begin{displaymath}
\psi ^{\prime \prime }+\pi ^{2}B^{2}\left[ \epsilon -v(\xi )\right] \psi =0
\end{displaymath} (10)

Der Potentialtopf $v(\xi )$ hat eine Breite 1 und Tiefe 1, d.h. das Potential $v$ nimmt nur 2 Werte an: entweder $\nu _{1}=0$, oder $\nu _{2}=1$.

Die Gl.(10) ist eine Sturm-Liouville-Gl. Wir suchen ihre kontinuierlichen, differenzierbaren Ls'gen in $(-\infty ,\infty )$. In unserem Fall ist sie eine Gl. mit stückweise-konstanten Parametern. Allg. Ls'gen:

Die Gesamtlösung wird aus 3 Teile (links von der, in der Mulde, rechts von der Mulde) zusammengestellt, mit Hilfe den Kontinuitätsbedingungen für $\psi $ und $\psi ^{\prime }$.



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Prof. Igor Sokolov 2005-02-14