Beispiel: Das Rechteckpotential.

Die stationäre Schrödinger-Gl. ist

$$\left( -\frac{\hbar ^{2}}{2m}\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}} +U(x)\right) \psi (x)=E\psi (x),$$

mit Parametern: Längenskala $L$, Energieskala $U_{0}$. Dimensionslose Länge $\xi =x/L$, dimensionslose Energie $\varepsilon =E/U_{0}$, $v=U(x)/U_{0}$.

$$\left( -\frac{\hbar ^{2}}{2mL^{2}U_{0}}\frac{\partial ^{2}}{... ...(\xi )}{U_{0}}\right) \psi (\xi )=\frac{E}{U_{0}}\psi (\xi ),$$

Der dimensionslose Parameter $B^{2}=(2/\pi ^{2}\hbar ^{2})mL^{2}U_{0}=\frac{2}{h^{2}}mL^{2}U_{0}$ (d.h. $B=\frac{L}{h}\sqrt{2mU}$) wird der BORN'sche Parameter genannt. Die SGl. lässt sich daher in der folgenden Form schreiben:

$$\psi ^{\prime \prime }+\pi ^{2}B^{2}\left[ \epsilon -v(\xi )\right] \psi =0$$ (10)

Der Potentialtopf $v(\xi )$ hat eine Breite 1 und Tiefe 1, d.h. das Potential $v$ nimmt nur 2 Werte an: entweder $\nu _{1}=0$, oder $\nu _{2}=1$.

Die Gl.(10) ist eine Sturm-Liouville-Gl. Wir suchen ihre kontinuierlichen, differenzierbaren Ls'gen in $(-\infty ,\infty )$. In unserem Fall ist sie eine Gl. mit stückweise-konstanten Parametern. Allg. Ls'gen:

• $\epsilon >\nu _{i}:\qquad \psi (x)=Ae^{ik\xi }+Ce^{-ik\xi }$ (oder $% A^{\prime }\sin k\xi +C^{\prime }\cos k\xi$, oszillierende Lösung) mit $% k=\sqrt{\epsilon -v_{i}}$

• $\epsilon <\nu _{i}:\qquad \psi (x)=Ae^{k\xi }+C^{-k\xi }$ mit $k=% \sqrt{v_{i}-\epsilon }$.

Die Gesamtlösung wird aus 3 Teile (links von der, in der Mulde, rechts von der Mulde) zusammengestellt, mit Hilfe den Kontinuitätsbedingungen für $\psi$ und $\psi ^{\prime }$.