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Die Wellenfkt. und die komplex-konjugierte Funktion
genügen der SGl und der konjugierter Gl.:
und
Daher
Da
gilt
Die Operatoren , die eine solche Eigenschaft haben (für
aus entsprechendem Funktionsraum) nennt man HERMITE'sche
Operatoren.
In unserem Fall
anhand von Green'schem Theorem
Führen wir den Wahrscheinlichkeitsstrom ein:
Dann gilt:
Daher bekommt man:
(die Kontinuitätsgleichung).
Die Gleichung folgt auch aus der klassischen Gleichung anhand des
Kontinuitätsprinzip: Da
der Operator ist, der
dem klassischen Wert von
entspricht, haben wir
(klassische Kontinuitätsgleichung).
Für die Eigenzustände (stationäre Zustände)
;
,
, so dass
.
Bemerkung: Bei reellem (da Hermite'sch) ist
für jede Lsg. auch die komplex-konjungierte Fkt eine Lsg. So kann man, wegen der Linearität der Gleichung,
stets die reelle Kombinationen
und
als Lösungen nehmen. Die Ls'gen
der Schrödinger-Gl. in 1D können immer als reell angesehen werden.
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Prof. Igor Sokolov
2005-02-14