Die Wronski-Determinante (Wronskian)

erlaubt allgemeine Aussagen über die Lsg. der eindimensionalen Schrödinger-Gl. Seien $\phi _{1}(x)$ und $\phi _{2}(x)$ zwei reelle Lsgen der stationären Schrödinger-Gl. zu den Energien $E_{1}$ und $% E_{2}$. Multiplizieren wir die entsprechenge Gl'en

$$\phi _{1}^{\prime \prime }(x)+\frac{2m}{\hbar ^{2}}\left[ E_{1}-U(x)\right] \phi _{1}(x)=0$$

und

$$\phi _{2}^{\prime \prime }(x)+\frac{2m}{\hbar ^{2}}\left[ E_{2}-U(x)\right] \phi _{2}(x)=0$$

mal $\phi _{2}$ ($\phi _{1}$) und bilden die Differenz:

$$\phi _{1}^{\prime \prime }(x)\phi _{2}(x)-\phi _{2}^{\prime ... ...)=\frac{2m}{\hbar ^{2}}(E_{2}-E_{1})\phi _{1}(x)\phi _{2}(x).$$

Man integriert die Gl. zwichen $x_{1}$ und $x_{2}$ ($x_{2}>x_{1}$), und wendet die partielle Integration an:

$$\begin{eqnarray*} &&\left. \phi _{1}^{\prime }(x)\phi _{2}(x)-\phi _{2}^{\prime ... ...^{2}}(E_{2}-E_{1})\int_{x_{1}}^{x_{2}}\phi _{1}(x)\phi _{2}(x)dx \end{eqnarray*}$$

oder

$$\left. W(\phi _{1},\phi _{2})\right\vert _{x_{1}}^{x_{2}}=\f... ...% (E_{2}-E_{1})\int_{x_{1}}^{x_{2}}\phi _{1}(x)\phi _{2}(x)dx,$$ (11)

mit

$$W(\phi _{1},\phi _{2})=\left\vert \begin{array}{ll} \phi _{... ...i _{1}^{\prime } & \phi _{2}^{\prime } \end{array}\right\vert$$

die Wronski-Determinante (Wronskian). Die Gl.(11) hat viele wichtige Folgen.

• Für $E_{1}=E_{2}=E$ ist $W(\phi _{1},\phi _{2})$. Haben die Lösungen eine gemeinsame Nullstelle, $\phi _{1}(x_{0})=\phi _{2}(x_{0})=0$, so ist $W=0$. Daher
  
  $$\frac{\phi _{1}^{\prime }(x)}{\phi _{2}^{\prime }(x)}=\frac{\phi _{1}(x)}{% \phi _{2}(x)}=C$$
  
  
  so dass die Ls'gen zueinander proportional sind. Wenn sie als normiert vorausgesetzt sind, so ist $\left\vert C\right\vert =1$ und $C=e^{i\varphi }$. Der Zustand $E$ ist nicht entartet.

• Die Lösungen sind dann und nur dann auf dem Interval $% x_{1}<x<x_{2}$ linear abhängig, wenn das Wronskian dort identisch verschwindet.

• Seien $\phi _{1}$ und $\phi _{2}$ die Ls'gen von SGl mit unterschiedlichen Eigenwerten $E_{1}$ und $E_{2}$ aus diskretem Spektrum (d.h. normierbar). Dann sind die Ls'gen $\phi _{1}$ und $\phi _{2}$ ortogonal, d.h.
  
  $$\int_{-\infty }^{\infty }\phi _{1}(x)\phi _{2}(x)dx=0.$$
  
  
  Bew.: Die normierbaren Ls'gen sind diejenige mit $x_{1,2}\rightarrow 0$ für $x\rightarrow \pm \infty$. Daher gilt
  
  $$\left. W(\phi _{1},\phi _{2})\right\vert _{-\infty }^{\infty... ...}-E_{1})\int_{-\infty }^{\infty }\phi _{1}(x)\phi _{2}(x)dx=0.$$
  
  
  Bemerkung: Wenn die Ls'gen nicht reell sind, gilt i.A.
  
  $$\int_{-\infty }^{\infty }\phi _{1}^{*}(x)\phi _{2}(x)dx=\int_{-\infty }^{\infty }\phi _{2}^{*}(x)\phi _{1}(x)dx=0.$$
  
  
  Die Ls'gen der SGl. mit Hermite'schen $\hat{H}$ bilden ein orthonormiertes System. Diese Aussage gilt auch in höheren Dimensionen.

• Seien $\phi _{1}$ und $\phi _{2}$ zwei reelle Eigenfunktionen mit $% E_{1}<E_{2}$. Wir zeigen jetzt, dass zwischen 2 Knoten (Nullstellen) der Funktion $\phi _{1}$ mindestens ein Knoten der Funktion $\phi _{2}$ liegt.

  Seien $x_{1}$ und $x_{2}$ zwei aufeinenderfolgende Nullpunkte von $\phi _{1}$. Betrachten wir die Wronski-Determinante zwischen diesen Punkten. Es gilt:
  

  $$\phi _{1}^{\prime }\phi _{2}\vert _{x_{1}}^{x_{2}}=\frac{2m}... ... ^{2}}% (E_{2}-E_{1})\int_{x_{1}}^{x_{2}}\phi _{1}\phi _{2}dx.$$
  
  
  Zwischen den Punkten $x_{1}$ und $x_{2}$ ändert die Fkt. $\phi _{1}$ nicht ihre Vorzeichen, z.B. ist $\phi _{1}>0$. Daher ist $\phi _{1}^{\prime }(x_{1})<0$ und $\phi _{1}^{\prime }(x_{1})>0$. Nehmen wir an, dass die Funktion $\phi _{2}$ auf dem Intervall ihre Vorzeichen nicht ändert. Damit ist die linke Seite der Gleichung negativ, und ihre rechte Seite positiv, was zu einem Widerspruch führt. Daher muss $\phi _{2}$ auf dem Intervall $(x_{1},x_{2})$ ihr Vorzeichen ändern.

  Man kann die Eigenfunktionen nach Anzahl ihrer Knotenpunkten ordnen und einen folgenden Satz beweisen:

• Das Oszillationstheorem (der Knotensatz). Besitzt der eindimensionale Hamiltonian ein diskretes Spektrum mit Energien
  
  $$E_{0}<E_{1}<E_{2}<...$$
  
  
  so hat die Wellefunktion $\psi _{n}$ genau $n$ Nullstellen (Knoten).