Die Logarithmische Ableitung der Wellenfunktion

Sei $y(x;E)$ eine Lösung der SGl zur Energie $E$ und

$$f(x,E)=\frac{y^{\prime }(x;E)}{y(x,E)}.$$

($f(x,E)$ divergiert in Knotenpunkten der Lösung). Dann gilt:

$$\frac{\partial }{\partial E}f(x,E)=-\frac{1}{y^{2}(x,E)}% \int_{a}^{x}y^{2}(x,E)dx.$$

Beweis: Die Lsg. $y(x,E)$ ist gegeben, wenn die Werte $y(a,E)$ und $% y^{\prime }(a,E)$ in irgendeinem Punkt $a$ gegeben sind. Für den Wert der Energie $E+\delta E$ bekommen wir eine andere Lösung, $y(x,E)+\delta y(x)$. Aus Wronskian-Theorem folgt:

$$\left. W(y,y+\delta y)\right\vert _{a}^{x}=-\frac{2m}{\hbar ^{2}}\delta E\int_{a}^{x}y(x)[y(x)+\delta y(x)]dx.$$

An der linke Seite der Gl.:

$$W(y,y+\delta y)=y\delta y^{\prime }-y^{\prime }\delta y=y^{2... ...lta \left( \frac{y^{\prime }}{y}\right) =y^{2}\delta f(x,E).$$

D.h. (in 1. Ordnung in $\delta E$)

$$y^{2}\left. \delta f(x,E)\right\vert _{x=b}=-\frac{2m}{\hbar ^{2}}\delta E\int_{a}^{b}y^{2}(x)dx$$

( $\left. \delta f(x,E)\right\vert _{x=a}=0$).

Bemerkung 1: $\frac{\partial }{\partial E}f(x,E)$ ist stets negativ, und divergiert an Knotenpunkten von $y(x)$. Daher ist $f(x,E)$ eine monotone Funktion. Das Betrag von $f$ wächst mit $E$ links von der Nullstelle und wird kleiner mit $E$ rechts von der Nullstelle.

Bemerkung 2: Man kann $a\rightarrow \pm \infty$ nehmen und die Funktionen betrachten, die samt ihrer Ableitung für $x\rightarrow \pm \infty$ verschwinden.