Allgemeine Struktur des Spektrums eines Schrödinger-Operators.

Die entsprechende dimensionslose Schrödingergl. lautet

$$\psi ^{\prime \prime }+(\varepsilon -v(x))\psi =0$$

mit $U(x)=(\hbar ^{2}/2m)v(x)$ und $E=(\hbar ^{2}/2m)\varepsilon$. Betrachten wir das Potential $v(x)$ mit $v(x)\rightarrow v_{\pm }$ für $% x\rightarrow \pm \infty$. Die Werte $v_{+}$ und $v_{-}$ teilen die Energieskala in 3 Gebiete (wir nehmen an z.B. dass $v_{+}<v_{-}$):

• $\varepsilon >v_{-}$. Nehmen wir $k=\sqrt{\varepsilon -v_{-}}$. Für $x\rightarrow -\infty$ strebt die SGl. gegen
  
  $$\psi ^{\prime \prime }+k^{2}\psi =0.$$
  
  
  Die 2 allg. Ls'gen sind $\psi _{1}\simeq A_{1}\sin kx$ und $\psi _{2}\simeq A_{2}\cos kx$, oder die 2 komplexen Exponenten $\psi _{1}\sim \exp (-ikx)$ und $\psi _{2}\sim \exp (ikx)$. Jede solche Lsg. bleibt begrenzt auch für $x\rightarrow \infty$ (die geht in eine $\tilde{A}_{1}\sin (k_{1}x+\varphi _{1})$ bzw. $\tilde{A}_{2}\cos (k_{1}x+\varphi _{2})$ mit reellen $k=\sqrt{\varepsilon -v_{-}}>0$). Daher: 2 Ls'gen für jeden Wert von $\varepsilon$. Das Spektrum ist kontinuierlich und 2-fach entartet. Die Zustände sind nicht gebunden (''Streuzustände''). Die Interpretation dieser Zusammenhänge erfolgt in dem Bild der Wellenpakete, und entspricht der experimentellen Situationen mit der Streuung der von rechts (aus unendlichen) oder von links (aus unendlichen) einfallenden Teilchen.

• $v_{+}<\varepsilon <v_{-}$. Nehmen wir $k=\sqrt{v_{-}-\varepsilon }$. Für $x\rightarrow -\infty$ gibt es 2 allg. Ls'gen: $\psi _{1}\simeq A_{1}e^{kx}$ und $\psi _{2}=A_{2}e^{-kx}$. Die 2. Lsg. divergiert für $% x\rightarrow -\infty$ und ist daher verboten (jegliche Versuch der Wahrscheinlichkeitsinterpretation zeigt, dass das Teilchen sich immer ausserhalb des Systems befindet!). In dem 2. asymptotischen Bereich bleibt die Lsg. $\psi _{1}$ begrenzt und oszilliert. Das Spektrum ist kontinuierlich und nicht entartet. Die Zustände sind nicht gebunden. Diese Situation enspricht der Streuung (eigentlich, Spiegelung) der von rechts anfallenden Teilchen.

• $\varepsilon <v_{+}$. Sowohl für $x\rightarrow -\infty$ als auch für $x\rightarrow \infty$ sind die Ls'gen reelle Exponentialfunktionen. Die begrenzte Lsg., wenn sie existiert, muss für $\left\vert x\right\vert \rightarrow \infty$ exponentiell abklingen, und entspricht einem gebundenen Zustand. Sei $y_{+}$ eine Lsg, dass für $x\rightarrow \infty$ gegen 0 strebt, und $y_{-}$ eine Lsg, dass für $x\rightarrow -\infty$ gegen 0 strebt. Jede solche Lösung hängt nut von einer Integrationskonstante ab; die zweite ist durch die entsprechende natürliche Randbedingung festgelegt. Die asymptotischen Verhalten der Lösungen sind $y_{+}\simeq Ae^{-k_{+}x}$ für $x\rightarrow \infty$ und $y_{-}\simeq Be^{k_{-}x}$ für $x\rightarrow -\infty$ mit $k_{\pm }=\sqrt{v_{\pm }-\varepsilon }$ mit 2 noch freien Konstanten $A$ und $B$. Die müssen aber 2 Nebenbedingungen in einem beliebegen Punkt $x$ erfüllen:
  • Die Funktionen $y_{+}(x)$ und $y_{-}(x)$, die der gleichen Energie entsprechen, sind gleich. Das legt $B$ als Fkt. von $A$ und $E$ fest. Der Wert von $A$ wird dann durch die Normirungsbedingung festgelegt.

  • Die Ableitungen (oder ihre logarithmische Ableitungen) $y_{+}^{\prime }(x)=y_{-}^{\prime }(x)$ sind gleich. Diese Nebenbedingung legt wiederum $B$ als eine andere Fkt. von $A$ und $E$ fest, die beiden zusammen sind nur für einige Werte von $E$ erfüllbar.

  Alle Bedingungen zusammen sind erfüllt nur für isolierte, diskrete Werten von $E$. Das Spektrum ist daher diskret und nicht entartet.