Stationäre Zustände

In einem konservativen System ist $\hat{H}$ (und damit seine Energie) zeitunabhängig. Damit hat die Lösung $\Psi$ eine wohldefinierte Frequenz $\omega$, so dass $E=\hbar \omega$. Es gilt also:

$$\Psi (\mathbf{r},t)=\psi (\mathbf{r})e^{-i\frac{E}{\hbar }t}.$$

Wenn wir diesen Ausdruck in der Schrödinger-Gl. einsetzen, bekommen wir

$$\hat{H}\psi (\mathbf{r})=E\psi (\mathbf{r}).$$

Diese Gl. wird als stationäre Schrödinger-Gl. bezeichnet, und $\psi (% \mathbf{r})$ wird als WF des stationären Zustands bezeichnet (obwohl sie keine richtige WF ist, da es an der Zeitabhängigkeit fehlt!).

Diskutieren wir zunächst die Eigenschaften der SGl für ein Teilchen in einem skalaren Potential $U(\mathbf{r})$. Es wird angenommen $U(\mathbf{r}% )\rightarrow 0$ für $\mathbf{r}\rightarrow \infty$.

Das Problem, die (physikalisch vernünftigen) Lösungen von der Gl.

$$\hat{H}\psi (\mathbf{r})=\left[ -\frac{\hbar ^{2}}{2m}\Delta +U(\mathbf{r}% )\right] \psi (\mathbf{r})=E\psi (\mathbf{r})$$

zu finden ist das Eigenwertproblem.

Um das Problem vollständig zu definieren, muß man die Randbedingungen und die Regularitätseigenscheften der WF festlegen.

• Die Regularitätsbedingungen: die WF und ihre Ableitung müßen stetig und begrenzt sein.

• ''Natürliche'' Randbedingung: in einem gebundenen Zustand soll die Funktion im Unendlichen hinreichend schnell verschwinden, so dass
  $\int\left\vert \psi (\mathbf{r})\right\vert ^{2}d\mathbf{r}=1.$ Das ist möglich nur für spezielle Werte von $E<0$ (diskretes Spektrum). Solche Spektren stimmen (im nicht-relativistischen Bereich) sehr gut mit experimentellen Linienspektren überein.

• Für $E>0$ und für grosse $r$ strebt das Potential gegen 0 und die Lösung gegen eine ebene Welle $e^{i\mathbf{kr}}$. Solche WF sind nicht normierbar, das Teilchen ist daher nicht lokalisiert in einem endlichen räumlichen Gebiet.