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Stationäre Zustände

In einem konservativen System ist $\hat{H}$ (und damit seine Energie) zeitunabhängig. Damit hat die Lösung $\Psi $ eine wohldefinierte Frequenz $\omega $, so dass $E=\hbar \omega $. Es gilt also:

\begin{displaymath}
\Psi (\mathbf{r},t)=\psi (\mathbf{r})e^{-i\frac{E}{\hbar }t}.
\end{displaymath}

Wenn wir diesen Ausdruck in der Schrödinger-Gl. einsetzen, bekommen wir

\begin{displaymath}
\hat{H}\psi (\mathbf{r})=E\psi (\mathbf{r}).
\end{displaymath}

Diese Gl. wird als stationäre Schrödinger-Gl. bezeichnet, und $\psi (%
\mathbf{r})$ wird als WF des stationären Zustands bezeichnet (obwohl sie keine richtige WF ist, da es an der Zeitabhängigkeit fehlt!).

Diskutieren wir zunächst die Eigenschaften der SGl für ein Teilchen in einem skalaren Potential $U(\mathbf{r})$. Es wird angenommen $U(\mathbf{r}%
)\rightarrow 0$ für $\mathbf{r}\rightarrow \infty $.

\begin{figure}\begin{center}\epsfxsize = 3.5in
\epsffile{Spektrum.eps}
\end{center}\end{figure}

Das Problem, die (physikalisch vernünftigen) Lösungen von der Gl.

\begin{displaymath}
\hat{H}\psi (\mathbf{r})=\left[ -\frac{\hbar ^{2}}{2m}\Delta +U(\mathbf{r}%
)\right] \psi (\mathbf{r})=E\psi (\mathbf{r})
\end{displaymath}

zu finden ist das Eigenwertproblem.

Um das Problem vollständig zu definieren, muß man die Randbedingungen und die Regularitätseigenscheften der WF festlegen.



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Prof. Igor Sokolov 2005-02-14