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Beispiel 2: Asymmetrisches Potentialtopf

\begin{figure}\begin{center}\epsfxsize = 4in \epsffile{RechtStreu.eps}
\end{center}\end{figure}

$\bullet $ $0<E<U_{3}$

Das Verhalten der Wellenfunktion:

\begin{displaymath}
\psi (x)=\left\{
\begin{array}{ll}
e^{-ikx}+e^{i(kx+2\phi _...
...\\
2Be^{i\phi _{1}}e^{\kappa _{3}x} & x<0
\end{array}\right.
\end{displaymath}

(Da es für $x<0$ keine nach links laufende Welle gibt, sind die Amplituden der nach links und nach rechts laufenden Wellen für $x>L$ gleich. Es ist vernünftig, die Koeffiziente in 2 bzw. 3 Zeile als $%
2Ae^{i\phi _{1}}$ und $2Be^{i\phi _{1}}$ zu schreiben, da die Phasen wegkürzen!) mit

\begin{eqnarray*}
k &=&\sqrt{2mE/\hbar ^{2}} \\
k_{2} &=&\sqrt{2m(E-U_{2})/\hbar ^{2}} \\
\kappa _{3} &=&\sqrt{2m(U_{3}-E)/\hbar ^{2}}
\end{eqnarray*}

Für die vorgegebene Amplitude der einfallenden Welle (hier 1) haben die Gleichungen immer 1 Lösung. Das Spektrum is kontinuierlich und nicht entartet. Die Phasen folgen aus der Bedingung der Kontinuität der logarithmischen Ableitung, die Vorfaktoren $A$ und $B$ aus der Kontinuität von $\psi $ selbst. Man bekommt:

\begin{displaymath}
\phi _{2}=Arc\tan \frac{k_{2}}{\kappa _{3}}
\end{displaymath}

und

\begin{displaymath}
\phi _{1}=-kL-\frac{\pi }{2}+Arc\tan \left[ \frac{k}{k_{2}}\...
...eft(
k_{2}L+Arc\tan \frac{k_{2}}{\kappa _{3}}\right) \right] .
\end{displaymath}

Wir betrachten hier nur den einfachsten Spezialfall $%
U_{3}\rightarrow \infty $ (mit $B \rightarrow 0$) und führen $K=\sqrt{%
-2mU_{2}/\hbar ^{2}}$ und $\eta =k/K=\sqrt{E/\left\vert U_{2}\right\vert }$ und $\xi
=k_{2}/K$. Es gilt $\eta =\sqrt{\xi ^{2}-1}$. Dann gilt:

\begin{displaymath}
\phi _{1}=-\frac{\pi }{2}+Arc\tan \left[ \frac{\eta }{\xi }\tan \left( \xi
KL\right) \right]
\end{displaymath}

und

\begin{displaymath}
A^{2}=\frac{\eta ^{2}}{\eta ^{2}+\cos ^{2}\xi KL}=\frac{\eta ^{2}}{\eta
^{2}+\cos ^{2}\left( \eta ^{2}+1\right) KL}.
\end{displaymath}

(Bemerkung: $\eta ^{2}=E/\left\vert U_{2}\right\vert $ ist dimensionslose Energie!). Die Amplitude zeigt Resonanzen für $\xi KL=\pi (n+1/2)$. Dabei ist $\phi
_{1}=\pi (n+1/2)$. Hier ist das Bild für $KL=100$.
\begin{figure}\begin{center}\epsfxsize = 4in \epsffile{ResonA.EPS}
\end{center}\end{figure}


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Prof. Igor Sokolov 2005-02-14