Multidimensionaler harmonischer Oszillator

Bis jetzt haben wir nur eindimensionale Probleme betrachtet. Betrachten wir nun als einfaches Beispiel einen 3-dimensionalen harmonischen Oszillator, mit allgemeinem Potential $U(\mathbf{r})=\sum_{i,j}\tilde{k}_{ij}r_{i}r_{j}$, mit einer nicht-negativ definierten Matrix $\left\{ \tilde{k}_{ij}\right\}$. Durch Rotation des Koordinatensystems (damit die $x$, $y$ und $z$ mit der Hauptachsen der Matrix $\left\{ \tilde{k}_{ij}\right\}$ zusammenfallen) kann man das auf die einfache Form $U(x,y,z)=\frac{1}{2}k_{x}x^{2}+\frac{1}{2}k_{y}y^{2}+\frac{1}{2}k_{z}z^{2}$ bringen. Der Hamilton-Operator lautet:

$$\begin{eqnarray*} \hat{H} &=&-\frac{\hbar ^{2}}{2m}\left( \frac{\partial ^{2}}{\... ...\omega _{z}^{2}mz^{2} \\ &=&\hat{H}_{x}+\hat{H}_{y}+\hat{H}_{z} \end{eqnarray*}$$

und ist eine Summe von 3 eindimensionalen Hamilton-Operatoren für die Schwingungen in entsprechenden Richtungen.

In solchem Fall (und nicht nur in solchem Fall) lohnt es sich nach der Lösung der Schrödinger-Gl.

$$\hat{H}\psi =E\psi$$

in der folgenden Form zu suchen:

$$\psi (x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z).$$

Die natürlichen Randbedingungen fordern, dass jeder der Funktionen $X,Y$ und $Z$ verschwinden soll, wenn ihre Argument gegen Unendlich strebt. Einsetzen ergibt:

$$YZ\hat{H}_{x}X+XZ\hat{H}_{y}Y+XY\hat{H}_{z}Z=EXYZ.$$

Daher:

$$\frac{1}{X}\hat{H}_{x}X+\frac{1}{Z}\hat{H}_{y}Y+\frac{1}{Z}\hat{H}_{z}Z=E.$$

Jeder der Summanden hängt nur von einer Koordinate ab. Daher muss jeder davon konstant senn. Die entsprechenden Lösungen können aus den Eigenfunktionen der eindimensionalen Operatoren bestimmt werden: wenn

$$\begin{eqnarray*} \hat{H}_{x}X &=&E_{x}X, \\ \hat{H}_{y}Y &=&E_{y}Y, \\ \hat{H}_{x}Z &=&E_{x}Z \end{eqnarray*}$$

mit $E_{x}=\hbar \omega _{x}\left( n_{x}+\frac{1}{2}\right) ,$ $E_{y}=\hbar \omega _{y}\left( n_{y}+\frac{1}{2}\right)$ und $E_{z}=\hbar \omega _{z}\left( n_{z}+\frac{1}{2}\right)$ sehen wir, dass $\psi (x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$ tatsächlich eine Lösung ist, mit

$$E=E_{x}+E_{y}+E_{z}=\hbar \omega _{x}n_{x}+\hbar \omega _{y}n_{y}+\hbar \omega _{z}n_{z}+\frac{3}{2}.$$

Wenn die Frequenzen $\omega _{x},\omega _{y}$ und $\omega _{z}$ keine Vielfachen voneinander darstellen, ist dieses Spektrum nicht entartet. Die andere Situation ergibt sich, wenn die Frequenzen zueinander proportional sind. Wenn z.B. $\omega _{x}=\omega _{y}=\omega _{z}=\omega$, so gilt

$$E=\hbar \omega \left( n+\frac{3}{2}\right)$$

mit $n=n_{x}+n_{y}+n_{z}$. Der Zustand mit der ''Hauptquantenzahl'' $n$ ist entartet. Der Grad der Entartung entspricht der Zahl der Möglichkeiten, die Zahl $n$ als Summe von 3 nichtnegativen ganzen Zahlen zu erhalten.

Um den Entartungsgrad zu bestimmen betrachten wir zuerst $n_{x}$ und $n_{y}$. Wenn $m=n_{x}+n_{y}$ dann gibt es bei fixiertem $m$ genau $m+1$ Möglichkeiten $n_{x}$ auszuwählen, $n_{x}$ ist damit fixiert. Wenn jetzt $n$ fixiert ist, so nimmt $m$ alle werte von 0 bis $n$ an, dabei ist $n_{z}$ vorgegeben. Insgesamt haben wir dann

$$N=\sum_{m=0}^{n}(m+1)=\frac{(m+1)(m+2)}{2}.$$

Bemerkung: Oft trifft man die Situation an, wenn das Potential als Funktion von einigen Koordinaten verschwindet (z.B. freie Bewegung in $x$-Richtung (Teilchen, die zu einer Linie durch einen harmonischen Potential gebunden ist, oder die freie Bewegung in $x$- und $y$-Richtungen (Teilchen an einer Fläche harmonisch angebunden). In diesem Fall ist der gültige Ansatz

$$\psi (x,y,z)=e^{ikx}Y(y)Z(z)$$

bzw.

$$\psi (x,y,z)=e^{ik_{x}x}e^{ik_{y}y}Z(y).$$

Die Energien werden im Prinzip kontinuierlich:

$$E=E_{x}+E_{y}+E_{z}=\frac{\hbar ^{2}}{2m}k^{2}+\hbar \omega _{y}n_{y}+\hbar \omega _{z}n_{z}+1$$

bzw.

$$E=E_{x}+E_{y}+E_{z}=\frac{\hbar ^{2}}{2m}k_{x}^{2}+\frac{\hbar ^{2}}{2m}% k_{y}^{2}+\hbar \omega _{z}n_{z}+\frac{1}{2}.$$