Teilchen im Magnetfeld.

Zeitunabhängiges homogenes Magnetfeld parallel zu $z$-Achse: $\mathbf{B}% =(0,0,B)$. Das klassische Teilchen im Magnetfeld $\mathbf{B}$ vollführt eine Rotationsbewegung in der zu $B$ normalen Fläche, mit der Frequenz $% \omega _{c}=\frac{e}{m}B$ (Zyklotronfrequenz). Die Bewegung in $z$-Richtung ist frei. Die periodische Kreisbewegung in $(x,y)$-Fläche soll quantisiert werden. Für diese Bewegung entstehen die Energieniveaus $% E_{n}=\hbar \omega (n+\alpha )$, so dass insgesamt

$$E=\frac{p_{z}^{2}}{2m}+E_{n}.$$

Für das Teilchen, das nur die Bewegung in $(x,y)$-Fläche vorführt (2-dimensionales System, z.B. Elektronen in einem dünnen Schicht) ist das Spektrum diskret. Wir geben hier die quantenmechanische Betrachtung (LANDAU,1930). Das Problem ist sehr reichhaltig; wir betrachten es hier nur als Anwendungsbeispiel zur Variablenseparation und zur Benutzung unsere Resultaten für den harmonische Oszillator.

Der Hamilton-Operator für ein Teilchen im Magnetfeld:

$$\hat{H}=\frac{1}{2m}\left( \mathbf{p}-e\mathbf{A}\right) ^{2... ...e\left( \nabla \mathbf{A+2A}\nabla \right) +e^{2}A^{2}\right]$$

Eichinvarianz: Für

$$\mathbf{A}(\mathbf{r})\rightarrow \mathbf{A}(\mathbf{r})+\nabla \chi (% \mathbf{r})$$

gilt

$$\psi \rightarrow \psi ^{\prime }(\mathbf{r})=\psi (\mathbf{r})\exp \left( i\frac{e}{\hbar }\chi \right)$$

???

Bequem: Coulomb-Eichung mit $div\mathbf{A}=0$. Spezialfall: Landau-Eichung mit $\mathbf{A}=(-By,0,0)$:

$$\hat{H}=-\frac{\hbar ^{2}}{2m}\left( \frac{\partial ^{2}}{\p... ...}eBy\frac{\partial }{\partial x}+\frac{e^{2}B^{2}}{% 2m}y^{2}$$

Die Lösung der Schrödinger-Gleichung

$$\hat{H}\psi =E\psi$$

ist in Form

$$\psi (x,y,z)=e^{ik_{z}z}e^{ik_{x}x}\phi (y)$$

zu suchen. Einsetzen in die Gleichung, kleine Umgruppierung:

$$\left( \frac{\hbar ^{2}}{2m}k_{z}^{2}-\frac{\hbar ^{2}}{2m}\... ...^{ik_{z}z}e^{ik_{x}x}\phi (y)=Ee^{ik_{z}z}e^{ik_{x}x}\phi (y)$$

mit $\omega _{c}=\frac{e}{m}B$ und $y_{0}=(\hbar /eB)k_{x}$. Die Gleichung für $\phi (y)$

$$\left[ -\frac{\hbar ^{2}}{2m}\frac{\partial ^{2}}{\partial y... ...}}{2m}% k_{z}^{2}\right) }_{E-p_{z}^{2}/2m}\right] \phi (y)=0$$

entspricht der Schrödinger-Gl. für den harmonischen Oszillator. Die Enenrgie ist von $y_{0}$ (und somit von $k_{x}$) unabhängig. Insgesamt gilt

$$E=\frac{p_{z}^{2}}{2m}+\underbrace{\hbar \omega _{c}\left( n+\frac{1}{2}% \right) }_ {\mbox{Landau-Niveaus}}.$$