Harmonischer Oszillator

Alles, was schwingt, kann mehr oder weniger durch eine harmonischen Oszillation angenähert werden!

$$\hat{H}=\frac{1}{2}\frac{1}{m}\hat{p}^{2}+\frac{1}{2}m\omega ^{2}x^{2}$$

mit $\omega ^{2}=k/m$, $k$-Federkonstante. Bemerkung: da $U\rightarrow \infty$ für $x\rightarrow \pm \infty$, besitzt das Operator nur diskretes Spektrum.

SGl:

$$\left\{ \frac{1}{2}\frac{\hbar ^{2}}{m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}-\frac{1}{2}% \omega ^{2}mx^{2}+E\right\} \psi (x)=0.$$

Variablenwechsel: Dimensionslose Koordinate $\xi$ und Energie $\epsilon$:

$$\xi =x\sqrt{\frac{m\omega }{\hbar }},\qquad \epsilon =\frac{2E}{\hbar \omega }.$$

$\Rightarrow$

$$\left\{ \frac{d^{2}}{dx^{2}}-\xi ^{2}+\varepsilon \right\} \psi (\xi )=0.$$ (12)

Da für $\xi \rightarrow \pm \infty$ $\left\{ d^{2}/dx^{2}-\xi ^{2}\right\} \psi (\xi )\simeq 0$, ist für grosse $\xi$ $\psi (\xi )\simeq \exp (-\xi ^{2}/2)$. Daher sucht man die Lsg. in der Form:

$$\psi (\xi )=f(\xi )e^{-\xi ^{2}/2}.$$

Einstellen in Eq.(12) ergibt für $f$:

$$f^{\prime \prime }-2\xi f^{\prime }+(\epsilon -1)f=0.$$

Damit die Lsg. von (12) überall endlich bleibt, muss $f$ nicht besonders schnell wachsend sein (z.B. ein Polynom). Solche Ls'gen existieren tatsächlich für

$$\epsilon -1=2n$$

mit $n=0,1,2,...$: $f(\xi )=C_{n}H_{n}(\xi )$, $H_{n}$ - ein HERMITE-Polynom:

$$\begin{eqnarray*} H_{0}(\xi ) &=&1 \\ H_{1}(\xi ) &=&2\xi \\ H_{3}(\xi ) &=&4\xi ^{2}-2 \\ H_{4}(\xi ) &=&8\xi ^{2}-12\xi \\ &&... \end{eqnarray*}$$

Die Hermite-Polynome genügen folgenden Rekursionsbeziehungen:

$$\begin{eqnarray*} H_{n+1}(\xi ) &=&2\xi H_{n}(\xi )-2nH_{n-1}(\xi ) \\ \frac{d}{d\xi }H_{n}(\xi ) &=&2nH_{n-1}(\xi ). \end{eqnarray*}$$

$C_{n}$ ist eine Normierungskonstante:

$$C_{n}=\left( \frac{1}{\sqrt{\pi }n!}2^{n}\right) ^{1/2}.$$

Daher:

$$E_{n}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2}\right)$$

( $E_{0}=\hbar \omega /2$ - die Nullpunktenergie).

Wie kommt man auf die Lösungen? Suchen wir nach einer Lösung der Gl.(5.7) in Form einer Potenzreihe:

$$f(\xi )=\sum_{n=0}^{\infty }\alpha _{n}\xi ^{n}$$

(da die Lösungen der Ausgangsgleichung eine wohldefinierte Parität haben müßen, bestehen die Reihen ausschlisslich aus geraden oder aus ungeraden Potenzen von $x$). Einstellen in der Gl.(5.7) und sammeln der Koeffizienten vor den gleichen Potenzen von $x$ ergibt:

$$\sum_{n}\left[ \alpha _{n+2}(n+2)(n+1)+\alpha _{n}(\epsilon -1-2n)\right] x^{n}=0.$$

Da $x$ eine freie Variable ist, soll der Ausdruck $[...]$ für jedes Glied verschwinden. Daraus resultiert eine Rekursionsformel:

$$\alpha _{n+2}=\frac{2n+1-\epsilon }{(n+2)(n+1)}\alpha _{n}.$$ (13)

Die erlaubt das Ausdrucken von allen Koeffizienten durch $\alpha _{0}$ für die gerade und durch $\alpha _{1}$ für die ungerade Lösungen. Ist ein der Koeffizienten $\alpha _{i}=0$ so verschwinden auch alle folgende Koeffizienten: Die Reihe bricht ab.

Wenn die Reihe nicht abbricht, dann haben wir für große $n$

$$\alpha _{n+2}\simeq \frac{2}{n}\alpha _{n},$$

d.h. $\alpha _{n+2}/\alpha _{n}\simeq 2/n$. Das entspricht für große $% n$ der Reihenentwicklung von $\exp (x^{2})=\sum_{m=0}^{\infty }\beta _{m}x^{2m}=\sum_{m=0}^{\infty }x^{2m}/m!$ mit $\beta _{m+2}/\beta _{m}=1/(m/2+1)!\simeq 2/m$ für die geraden Zustände oder der Reihenentwicklung von $x\exp (x^{2})$ für die ungeraden Zustände (gleichermassen). Das heißt, dass wenn die Reihe nicht abbricht, divergiert die Wellenfunktion $\psi (\xi )=f(\xi )e^{-\xi ^{2}/2}$ für $\xi \rightarrow \pm \infty$. Die Reihe muss also abbrechen. Das ist nur dann möglich, wenn

$$\epsilon =2n+1,$$

wohin unsere Energiebedingung folgt. Die Hermite-Polynome folgen aus unserer Rekursionsformel Eq.(13) und der Normierungsbedingung für die gesamte Wellenfunktion.

Mathematischer Einschub: Die Orthogonalpolynome

Das System der Polynome

$$f_{n}(x)=k_{n}^{(n)}x^{n}+k_{n-1}^{(n)}x^{n-1}+... \quad (*)$$ (14)

wird als eine Familie der Ortogonalpolynome auf $\left[ a,b\right]$ bezeichnet, wenn sie der (gewichteten) Orthogonalitätsbeziehung

$$\int_{a}^{b}w(x)f_{n}(x)f_{m}(x)dx=0$$

für eine Gewichtung $w(x)$ und $n\neq m$ genügen. Der obere Index in Gl. (*) bezeichnet das Glied der Familie, der untere Index entspricht der Potenz von $x$. Die Normierung ist durch eine Zusatzbeziehung gegeben

$$\int_{a}^{b}w(x)f_{n}^{2}(x)dx=h_{n}.$$

Solche Polynome genügen einer Rekursionsbeziehung

$$f_{n+1}=(a_{n}+xb_{n})f_{n}-c_{n}f_{n-1}$$

mit

$$b_{n}=\frac{k_{n+1}^{(n+1)}}{k_{n}^{(n)}},\quad a_{n}=b_{n}\... ...}^{(n+1)}k_{n-1}^{(n-1)}}{k_{n}^{(n)2}} \frac{h_{n}}{h_{n-1}}.$$

Alle solche Polynome folgen aus der RODRIGUES-Formul

$$f_{n}=\frac{1}{e_{n}}\frac{1}{w(x)}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left\{ w(x)\left[ g(x)\right] ^{n}\right\}$$

wobei das Polynom $g(x)$ unabhängig von $n$ ist (das gewährleistet die Orthogonalität, Gl.(*)), und genügt einer Differenzialgleichung

$$g_{2}(x)f_{n}^{\prime \prime }+g_{1}(x)f_{n}^{\prime }+g_{0}(x,n)f_{n}=0,$$

wobei die Polynome $g_{1}(x)$ und $g_{2}(x)$ nicht von $n$ abhängen. Die Hermite-Polynome sind eine Familie mit $g_{2}(x)=1,$ $g_{2}(x)=-2x$ und $% g_{0}(x,n)=2n$, die Gewichtung $w(x)=e^{-x^{2}}$, und $h_{n}=\sqrt{\pi }% 2^{n}n!$. Für solche Polynome gilt $e_{n}=(-1)^{n}$ und $g(x)=1.$ Alle Eigenschaften der Orthogonalpolynome finden ihre Entsprechung in Eigenschaften der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren.

Aus der Rekursionsbedingungen für die Hermite-Polynome folgt:

$$\xi \psi _{n}=\sqrt{\frac{n}{2}}\psi _{n-1}+\sqrt{\frac{n+1}{2}}\psi _{n+1}$$ (15)

und

$$\frac{\partial \psi _{n}}{\partial \xi }=2\sqrt{\frac{n}{2}}\psi _{n-1}-\xi \psi _{n}$$

und somit

$$\frac{\partial \psi _{n}}{\partial \xi }=2\sqrt{\frac{n}{2}}\psi _{n-1}-% \sqrt{\frac{n+1}{2}}\psi _{n+1}.$$ (16)

Aus der (15) und (16) folgen nützliche Beziehungen:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \xi +\frac{\partial }{\partial \xi }\right) \psi _{n} = \sqrt{n}\psi _{n-1}$$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \xi -\frac{\partial }{\partial \xi }\right) \psi _{n} = \sqrt{n+1}\psi _{n+1}$$ (17)

Die entsprechende Operatoren

$$\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \xi +\frac{\partial }{\part... ...\right) =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \xi +i\hat{p}_{\xi }\right)$$

und

$$\hat{a}^{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \xi -\frac{\partial }{\... ...\right) =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \xi -i\hat{p}_{\xi }\right)$$

werden das Vernichtungs- und Erzeugungsoperator genannt. In Ausgangsvariablen des Problems sind

$$\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar }}\left( \sqrt{m\omega }\hat{x}+\frac{i}{\sqrt{% m\omega }}\hat{p}\right)$$

und

$$\hat{a}^{+}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar }}\left( \sqrt{m\omega }\hat{x}-\frac{i}{% \sqrt{m\omega }}\hat{p}\right) .$$

Aus dem Kommutator $\left[ \hat{x},\hat{p}\right] =i\hbar$ bekommt man

$$\left[ \hat{a},\hat{a}^{+}\right] =1$$

(die Operatoren $\hat{a}$ und $\hat{a}^{+}$ sind dimensionslos). Da gilt

$$\hat{x}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}(\hat{a}+\hat{a}^{+})$$

und

$$\hat{p}=-i\sqrt{\frac{\hbar m\omega }{2}}(\hat{a}-\hat{a}^{+})$$

bekommt unser Hamiltonian

$$\hat{H}=\frac{1}{2}\frac{1}{m}\hat{p}^{2}+\frac{1}{2}m\omega ^{2}x^{2}$$

die Gestalt

$$\hat{H}=\hbar \omega \left( \hat{a}^{+}\hat{a}+\frac{1}{2}\right) .$$

Die Kombiantion $\hat{n}=\hat{a}^{+}\hat{a}$ wird als Besetzungszahloperator bezeichet.

Die Wellenfunktion des $n$-ten Zustandes kan man durch wiederhohlte Anwendung des Operators $\hat{a}^{+}$ auf $\psi _{0}(\xi )=\frac{1}{\pi ^{1/4}}e^{-\xi ^{2}/2}$ bestimmen:

$$\psi _{n}=\frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat{a}^{+})^{n}\psi _{0}.$$

Durch wiederholte Anwendung von (17) bekommt man die Gleichungen

$$\begin{eqnarray*} \hat{a}\hat{a}^{+}\psi _{n} &=&(n+1)\psi _{n} \\ \hat{a}^{+}\hat{a}\psi _{n} &=&n\psi _{n} \end{eqnarray*}$$

aus denen ebenfalls $\left[ \hat{a},\hat{a}^{+}\right] =1$ folgt. Für die Eigenfunktion $\psi _{n}$ gilt dann

$$\hat{H}\psi _{n}=\hbar \omega \left( \hat{a}^{+}\hat{a}+\fra... ...) \psi _{n}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2}\right) \psi _{n}$$

woraus man sofort

$$E_{n}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2}\right)$$

ablesen kann.