Beispiel: Potentialtopf. Diskretes Spektrum

Problem: Nahe an Umkehrpunkt sind die Lösungen nicht zu verwenden, sieh Skizze.

$$\begin{eqnarray*} \psi _{I}(x) &\simeq &\frac{C}{\sqrt{\left\vert p\right\vert }... ...}\sqrt{2m(U(x^{\prime })-E)}dx^{\prime }\right] ,\qquad x>a_{2}. \end{eqnarray*}$$

In den Gebieten in unmittelbarer Nähe der Umkehrpunkten sind diese Näherungen unbrauchbar. Betrachten wir z.B. den Bereich $a_{1}<x<b_{1}$. In diesem kleinen Bereich kann man die potentielle Energie in eine Reihe entwickeln:

$$U(x)\simeq E-\underbrace{\left\vert \frac{dU}{dx}\right\vert _{x=x_{1}}}% _{F(x_{1})}(x-x_{1})+...$$

Somit erhalten wir in der Nähe des Umkehrpunkts eine Schrödinger-Gl.

$$\left[ \frac{\hbar ^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+F(x-x_{1})\right] \psi (x-x_{1})=0.$$

Führen wir eine neue, dimensionslose Koordinate

$$\xi =\left( \frac{2mF}{\hbar ^{2}}\right) ^{1/3}(x_{1}-x)$$

ein, so dass

$$\psi ^{\prime \prime }(\xi )-\xi \psi (\xi )=0.$$

Die (nicht normierten) Ls'gen dieser Differenzialgleichung sind die AIRY-Funktionen. Wir suchen eine Lsg, die für $\xi >0$ oszilliert und für $\xi <0$ monoton abfällt. Diese Lsg. ist durch eine Spezialfunktion $Ai(\xi )=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{\infty }\cos \left( z\xi +z^{3}/3\right) dz$ gegeben.

Die Grenzen des Bereichs Eq.(21) entsprechen den Werten $\left\vert \xi \right\vert \gg 1$. Das asymptotische Verhalten der Lsg. ist dann gegeben durch

$$\psi (\xi )\simeq \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}\xi ... ...right] & \mathrm{f\ddot{u}r}\;\xi \ll -1 \end{array}\right. .$$

Kommen wir zu den Ausgangskoordinaten zurück, so erhalten wir für $% x>x_{1}$

$$\frac{2}{3}\xi ^{3/2}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2mF}{\hbar ^{2}... ...{2}}(x-x_{1})}% dx=\int_{x_{1}}^{x}p(x^{\prime })dx^{\prime }$$

und $\xi ^{-1/4}=\left[ \frac{2mF}{\hbar ^{2}}(x-x_{1})\right] ^{-1/2}=1/% \sqrt{p(x)}.$

Für $x<x_{1}$ bekommt man

$$\frac{2}{3}\xi ^{3/2}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2mF}{\hbar ^{2}... ...\frac{1}{\hbar }\int_{x_{1}}^{x}\pi (x^{\prime })dx^{\prime }.$$

Somit kann man die Lösung and der Grenze $a_{1}$ bzw. $b_{1}$ folgendermaßen schreiben:

$$\psi _{1}(x)\simeq \left\{ \begin{array}{ll} \frac{B}{2\sqr... ...{4}\right] & \mathrm{f\ddot{u}r}\;x=b_{1} \end{array}\right. .$$

An der Grenze $a_{1}$ bzw. $b_{1}$ ist die Lsg. $\psi (x)$ mit der Teillösung $\psi _{I}(x)$ bzw. $\psi _{2}(x)$ gleichzusetzen. Damit erhält man für die Koeffizienten $A$ und $C$ und für die Phase $% \alpha$

$$\begin{eqnarray*} A &=&B \\ 2C_{1} &=&B \\ \alpha &=&\pi /4. \end{eqnarray*}$$

Die gleich Prozedur muß auf der Grenzen $b_{2}$ und $a_{2}$ wiederholt werden (Bemerke: Spiegelverkehrte Situation!):

$$\psi _{2}(x)\simeq \left\{ \begin{array}{ll} \frac{D}{2\sqr... ...{4}\right] & \mathrm{f\ddot{u}r}\;x=b_{2} \end{array}\right. .$$

Die Lsg.

$$\psi _{II}(x)=\frac{A}{\sqrt{p}}\sin \left[ \frac{1}{\hbar }... ...t_{x_{1}}^{x}p(x^{\prime })dx^{\prime }+\frac{\pi }{4}\right]$$

kann folgendermaßen umgeschrieben werden:

$$\psi _{II}(x)=\frac{-A}{\sqrt{p}}\sin \left[ \frac{1}{\hbar ... ...{\hbar }\int_{x_{2}}^{x_{1}}p(x^{\prime })dx^{\prime }\right]$$

Diese Funktion muss in $a_{2}$ der Funktion $\psi _{2}(x)$ gleich sein, so dass $D=(-1)^{n}A$ und

$$\frac{1}{\hbar }\int_{x_{1}}^{x_{2}}p(x^{\prime })dx^{\prime }-\frac{\pi }{2}% =\pi n.$$

Nur dann ist der stetige Übergang in beiden Grenzbereichen gewährleistet. Wenn wir jetzt das Phasenintegral

$$\oint pdx=2\int_{x_{1}}^{x_{2}}p(x)dx$$

entlang des Weges von $x_{1}$ nach $x_{2}$ einführen, so erhalten wir

$$\oint pdx=2\pi \hbar \left( n+\frac{1}{2}\right) ,$$ (23)

die Bohr-Sommerfeldsche Quantisierungsvorschrift.