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Die quasiklassische (WKB: für Wentzel-Kramers-Brillouin) Näherung
ist ein Verfahren zur Lösung der Gl.
woraus die WF des stationären Zustandes als
folgt. Die Lösung wird als formale Entwicklung nach Potenzen von
gesucht:
Ist die Voraussetzung
erfüllt, sind die höheren Glieder der Reihe bedeutend kleiner als
die vorhergehenden. Die Lösung kann durch Iteration bestimmt werden:
- 0. Ordnung
- 1. Ordnung
- 2. Ordnung
usw.
Gewöhnlich beschränkt man sich auf
und
.
Beispiel: Eindimensionale Bewegung.
usw, mit
(die Funktion
fällt mit dem Betrag des klassischen Impulses zusammen falls
ist). Damit
Aus der 2. Gleichung folgt dann
(
-Integrationskonstante). Daher ist die allgemeine Lösung
Der Bereich
wird als klassisch erlaubter Bereich
bezeichnet. In diesem Bereich kann man die WF als Funktion schreiben, die
von 2 Parameter abhängig ist
![\begin{displaymath}
\psi (x)=\frac{A}{\sqrt{p}}\sin \left[ \frac{1}{\hbar }\int_{a}^{x}p(x^{%
\prime })dx^{\prime }+\alpha \right] .
\end{displaymath}](img897.png) |
(20) |
Die Amplitude der WF ist proportional zu
. Die
Aufenthaltwahrscheinlichkeit in kleinen Volumen ist im Wesentlichen
proportional zu
, d.h. umgekehrt
proportional zu der Geschwindigkeit des klassischen Teilchens.
Die Werte
, für die
, entsprechen der Umkehrpunkten. Das sind die Ruhepunkte des klassischen Teilchen. In diesen
Punkten wird die quasiklassische Näherung unbrauchbar. Nahe an diesen
Punkten
Aus der Bedingung
folgt, dass der Gültigkeitsbereich der quasiklassischen
Näherung den Abständen
![\begin{displaymath}
\left\vert x-x_{i}\right\vert \gg \frac{1}{2}\left( \frac{\hbar ^{2}}{m\left\vert
dU/dx\right\vert }\right) ^{1/3}
\end{displaymath}](img904.png) |
(21) |
entspricht.
Der Bereich
wird als klassisch nicht erlaubter Bereich
bezeichnet. In diesem Bereich ist
imaginär:
.
Damit ist die Lösung
![\begin{displaymath}
\psi (x)=\frac{C}{\sqrt{\left\vert p\right\vert }}\exp \left...
...{\hbar }\int_{a}^{x}\kappa (x^{\prime
})dx^{\prime }\right] .
\end{displaymath}](img908.png) |
(22) |
Die quasiklassische Funktionen (20) und (22) sollen
im Umkehrpunkt aneinander angeschlossen werden (vgl. rechteckige
Potentialtopf).
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Prof. Igor Sokolov
2005-02-14