Quasiklassische Näherung (WKB-Näherung)

Die quasiklassische (WKB: für Wentzel-Kramers-Brillouin) Näherung ist ein Verfahren zur Lösung der Gl.

$$\frac{(\nabla s)^{2}}{2m}+U(\mathbf{r})-E-\frac{i\hbar }{2m}\Delta s=0$$

woraus die WF des stationären Zustandes als

$$\psi (\mathbf{r})=\exp \left[ \frac{i}{\hbar }s(\mathbf{r})\right]$$

folgt. Die Lösung wird als formale Entwicklung nach Potenzen von $\hbar$ gesucht:

$$s=s_{0}+\frac{\hbar }{i}s_{1}+\left( \frac{\hbar }{i}\right) ^{2}s_{2}+...$$

Ist die Voraussetzung $p^{2}\gg \hbar \left\vert \mathrm{div}\mathbf{p}\right\vert$ erfüllt, sind die höheren Glieder der Reihe bedeutend kleiner als die vorhergehenden. Die Lösung kann durch Iteration bestimmt werden:

• 0. Ordnung
  
  $$\frac{(\nabla s_{0})^{2}}{2m}+U(\mathbf{r})-E=0,$$
  
  

• 1. Ordnung
  
  $$\nabla s_{1}\nabla s_{0}+\frac{1}{2}\Delta s_{0}=0,$$
  
  

• 2. Ordnung
  
  $$\left( \nabla s_{1}\right) ^{2}+2\nabla s_{2}\nabla s_{0}+\Delta s_{1}=0$$
  
  
  usw.

Gewöhnlich beschränkt man sich auf $s_{0}$ und $s_{1}$.

Beispiel: Eindimensionale Bewegung.

$$\begin{eqnarray*} \left[ s_{0}^{\prime }(x)\right] &=&p^{2}(x) \\ 2s_{1}^{\prim... ...\left( s_{1}^{\prime }(x)\right) ^{2}\right] /s_{0}^{\prime }(x) \end{eqnarray*}$$

usw, mit $s_{0}^{\prime }(x)=\pm p(x)=\pm \sqrt{2m(E-U(x))}$ (die Funktion $% p(x)$ fällt mit dem Betrag des klassischen Impulses zusammen falls $% E-U(x)>0$ ist). Damit

$$s_{0}=\pm \int_{a}^{x}\sqrt{2m(E-U(x^{\prime }))}dx^{\prime }.$$

Aus der 2. Gleichung folgt dann

$$s_{1}=-\ln \sqrt{\left\vert p\right\vert }+\ln C$$

($C$-Integrationskonstante). Daher ist die allgemeine Lösung

$$\psi (x)=\frac{C}{\sqrt{\left\vert p(x)\right\vert }}\exp \l... ...rac{i}{\hbar }\int_{a}^{x}p(x^{\prime })dx^{\prime }\right] .$$

Der Bereich $E>U(x)$ wird als klassisch erlaubter Bereich bezeichnet. In diesem Bereich kann man die WF als Funktion schreiben, die von 2 Parameter abhängig ist

$$\psi (x)=\frac{A}{\sqrt{p}}\sin \left[ \frac{1}{\hbar }\int_{a}^{x}p(x^{% \prime })dx^{\prime }+\alpha \right] .$$ (20)

Die Amplitude der WF ist proportional zu $1/\sqrt{p}$. Die Aufenthaltwahrscheinlichkeit in kleinen Volumen ist im Wesentlichen proportional zu $\left\vert \psi (x)\right\vert ^{2}\simeq 1/p$, d.h. umgekehrt proportional zu der Geschwindigkeit des klassischen Teilchens.

Die Werte $x_{i}$, für die $E=U(x_{i})$, entsprechen der Umkehrpunkten. Das sind die Ruhepunkte des klassischen Teilchen. In diesen Punkten wird die quasiklassische Näherung unbrauchbar. Nahe an diesen Punkten

$$p^{2}=2m\left[ E-U(x)\right] \simeq 2m\left\vert \frac{dU}{dx}\right\vert \left\vert x-x_{i}\right\vert .$$

Aus der Bedingung $p^{3}\gg m \hbar \left\vert \frac{\partial U}{\partial x}% \right\vert$ folgt, dass der Gültigkeitsbereich der quasiklassischen Näherung den Abständen

$$\left\vert x-x_{i}\right\vert \gg \frac{1}{2}\left( \frac{\hbar ^{2}}{m\left\vert dU/dx\right\vert }\right) ^{1/3}$$ (21)

entspricht.

Der Bereich $E<U(x)$ wird als klassisch nicht erlaubter Bereich bezeichnet. In diesem Bereich ist $p(x)$ imaginär: $p(x)=i\kappa (x)$. Damit ist die Lösung

$$\psi (x)=\frac{C}{\sqrt{\left\vert p\right\vert }}\exp \left... ...{\hbar }\int_{a}^{x}\kappa (x^{\prime })dx^{\prime }\right] .$$ (22)

Die quasiklassische Funktionen (20) und (22) sollen im Umkehrpunkt aneinander angeschlossen werden (vgl. rechteckige Potentialtopf).