Durchdringen eines Potentialwalls.

Betrachten wir die quasiklassische Näherung für die Zustände aus kontinuierlichem Spektrum. Die einfallende Welle kommt aus dem Bereich I, wobei das Potential verschwindet $\psi _{I}(x)=Ae^{ik_{I}x}+Be^{-ik_{I}x}$. Im Gebiet III gibt es auslaufende Teilchen. Weit von dem Wall verschwindet das Potential, so ist die WF

$$\psi _{III}\rightarrow Ce^{ik_{III}x}$$

Wir interessieren uns für das Durchdringen des Walls und definieren den Durchlaßkoeffizienten $T$:

$$T=\left\vert \frac{C}{A}\right\vert ^{2}\left\vert \frac{k_{III}}{k_{I}}\right\vert .$$

Bemerkung: Der Wahrscheinlichkeitsstrom in der einfallede Welle ist

$$\begin{eqnarray*} J_{I} &=&\mbox{Re}\left[ \Psi _{I}^{*}\frac{\hbar }{im}\nabla ... ... _{I}\right] =% \frac{\hbar k_{I}}{m}\left( A^{2}-B^{2}\right) . \end{eqnarray*}$$

In dem Gebiet III hat man

$$J=\frac{\hbar k_{III}}{m}C^{2}.$$

(richtige Dimension:

$$\left[ J\right] =\left[ \frac{ML^{2}}{T}\frac{1}{L}\frac{1}{M}\right] =\left[ v\right]$$

Aus der Stromerhaltung folgt

$$C^{2}k_{III}=\left( A^{2}-B^{2}\right) k_{I}.$$

Zunächst betrachten wir den Fall $E=\hbar ^{2}k^{2}/2m<U_{\max }$. Zur Berechnung dieser Größen muß man die Bewegung des Teilchens im Bereich II untersuchen.

Es ist einfacher, vom Bereich III anzufangen (nur 1 Welle), $C$ festsetzen und $A$ und $B$ als Funktionen von $C$ zu bestimmen. Setzen wir einfachheitshalber $c=\left( 1+i\right)$ (d.h. $C=\left( 1+i\right) /\sqrt{p}% =\left( 1+i\right) /\sqrt{2mE}$). Die Lsg. in diesem Bereich ist dann:

$$\psi _{III}=\frac{1}{\sqrt{p(x)}}\exp \left( \frac{i}{\hbar }% \int_{x_{2}}^{x}p(x)dx-i\frac{\pi }{4}\right) ,$$

oder

$$\psi _{III}=\frac{1}{\sqrt{p(x)}}\left[ \cos \left( \frac{1}... ...hbar }% \int_{x_{2}}^{x}p(x)dx-\frac{\pi }{4}\right) \right] .$$

Im Bereich II wird diese Lösung zu einer rein exponentiell abfallenden Lösung

$$\begin{eqnarray*} \psi _{II} &=&-i\frac{1}{\sqrt{\pi (x)}}\exp \left( \frac{1}{\... ...ft( -\frac{1}{\hbar }% \int_{x_{1}}^{x}\pi (x)dx\right) \right] \end{eqnarray*}$$

mit $\tau =\int_{x_{1}}^{x_{2}}\pi (x)dx=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{1}{\hbar }% \sqrt{2m\left( U(x)-E\right) }dx$.

Im Bereich I benutzen wir eine Lösung

$$\psi _{I}(x)=A\cos \left[ k(x-x_{1})+\delta \right] ,$$

(mit i.A. komplexen Koeffizient $A$). Die Konsistenzbedingungen im Punkt $% x_{1}$ ergeben dann:

$$2c\frac{1}{\sqrt{p(x)}}\cos \left( \frac{1}{\hbar }\int_{x}^... ...}{\hbar }\int_{x_{1}}^{x}\pi (x^{\prime })dx^{\prime }\right)$$

so dass $2c=-ie^{\tau }$. Da $\delta =-\pi /4$ reell ist, ergeben sich die praktisch gleichen Amplituden für einlaufende und der reflektierte Welle, da $\cos (kx+\delta )=\frac{1}{2}e^{ikx+i\delta }+\frac{1}{2}e^{-ikx-i\delta }$. Daher

$$J_{I}=\frac{1}{4}\left\vert A^{2}\right\vert \frac{\hbar k}{m}$$

mit $A=e^{\tau }/\sqrt{2m(E-U_{0})}$. Der Durchlasskoeffizient ist dann:

$$T=4\frac{\sqrt{E(E-U_{0})}}{U_{0}}e^{-2\tau }=4\frac{\sqrt{E... ...{1}}^{x_{2}}\frac{1}{\hbar }\sqrt{2m\left( U(x)-E\right) }dx}.$$

Für die Anwendbarkeit der WKB-Methode ist es wichtig, dass der Wall eine Breite von ''mehreren Wellenlängen'' hat, d.h. $\tau \gg 2\pi$. Damit ist der Durchlasskoeffizient $T$ sehr klein, $T\lesssim 10^{-5}$. Das erklärt auch die praktische Gleichheit der Amplituden der einlaufenden und der reflektierten Welle. Der typische Wert des Durchlasskoeffizienten

$$T\simeq e^{-\frac{2}{\hbar }\int_{x_{1}}^{x_{2}}\sqrt{2m\left( U(x)-E\right) }dx}$$

gilt für den allgemeinen Fall. Der Reflexionskoeffizient, den wir in unserer einfachen Betrachtung gleich 1 gesetzt haben, kann nachträglich als

$$R=1-T$$

bestimmt werden.

Anwendungsbeispiele: kalte Elektronenemission aus einem Metall, $\alpha$-Zerfall, u.s.w.