Beispiel: das Drehmoment

Klassisch gilt

$$\begin{eqnarray*} \mathbf{L} &=&\mathbf{r}\times \mathbf{p} \\ L_{x} &=&yp_{z}-zp_{y} \\ L_{y} &=&zp_{x}-xp_{z} \\ L_{z} &=&xp_{y}-yp_{x}. \end{eqnarray*}$$

Anhand des Korrespondenzprinzips

$$\begin{eqnarray*} \mathbf{\hat{L}} &=&-i\hbar \,\mathbf{r}\times \mathbf{\nabla ... ...c{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial }{\partial x}\right) . \end{eqnarray*}$$

Aus den Vertauschbarkeitsregeln $\left[ \hat{q}_{i},\hat{q}_{k}\right] =0$, $\left[ \hat{p}_{i},\hat{p}_{k}\right] =0$, $\left[ \hat{q}_{i},\hat{p}% _{k}\right] =i\hbar \delta _{ik}$ für die Koordinaten und Impulse folgt:

$$\left[ \hat{L}_{x},\hat{L}_{y}\right] =i\hbar \hat{L}_{z}$$

und die weitere zyklische Umstellungen $y,z,x$ und $z,y,y$. Ferner kann man zeigen, dass

$$\left[ \mathbf{\hat{L}}^{2},\hat{L}_{i}\right] =0$$

$$\left[ \hat{L}_{i},\hat{q}_{i}\right] =0$$

$$\left[ \hat{L}_{i},\hat{p}_{i}\right] =0$$

und

$$\left[ \hat{L}_{x},\hat{q}_{y}\right] =-i\hbar \hat{q}_{z}$$

und zyklische Permutationen, sowie

$$\left[ \hat{L}_{x},\hat{p}_{y}\right] =-i\hbar \hat{p}_{z}$$

und zyklische Permutationen.