Eigenwerte und Eigenfunktionen des Operators der Drehimpulsprojektion $\hat{L}_{z}$

Übergang zu Kugelkoordinaten ergibt

$$\hat{L}_{z}=-i\hbar \frac{\partial }{\partial \phi }.$$

Die Gleichung für die Eigenwerte

$$-i\hbar \frac{\partial }{\partial \phi }\psi (\phi )=L_{z}\psi (\phi ),$$

die Variable $\phi$ ändert sich in Grenzen $0\leq \phi <2\pi$. Die Lösungen sind

$$\psi (\phi )=A\exp \left( i\frac{L_{z}}{\hbar }\phi \right) .$$

Damit die Funktionen $\psi (\phi )$ eindeutig sind, muß die periodische Randbedingung $\psi (\phi +2\pi )=\psi (\phi )$ erfüllt werden. Daher ist $L_{z}=m\hbar$, mit $m=0,\pm 1,\pm 2,...$. Die normierten WF haben die Gestalt

$$\psi _{m}(\phi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{im\phi }.$$