Bemerkung: Übergang zur Kugelkoordinaten:

Zu den Transformationen

$$x=r\sin \theta \cos \phi ,\quad y=r\sin \theta \sin \phi ,\quad z=r\cos \theta$$

gehören die inversen Transformationen

$$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\quad \cos \theta =\frac{z}{r},\quad \tan \phi =% \frac{y}{x}$$

Daher

$$\begin{array}{lll} \displaystyle \frac{\partial r}{\partial ... ...displaystyle \frac{\partial \phi }{\partial z}=0 \end{array}.$$

Dann gilt:

$$\begin{eqnarray*} \hat{L}_{z} &=&-i\hbar \left( x\frac{\partial }{\partial y}-y\... ...i }\right] \\ &=&....=-i\hbar \frac{\partial }{\partial \phi }. \end{eqnarray*}$$

Die zwei anderen Komponenten lauten:

$$\hat{L}_{x}=i\hbar \left( \sin \phi \frac{\partial }{\partia... ...s \phi }{\tan \theta }\frac{\partial }{\partial \phi }\right)$$

und

$$\hat{L}_{y}=-i\hbar \left( \cos \phi \frac{\partial }{\parti... ... \phi }{\tan \theta }\frac{\partial }{\partial \phi }\right) .$$

Der Operator $\mathbf{\hat{L}}^{2}=\hat{L}_{x}^{2}+\hat{L}_{y}^{2}+\hat{L}% _{z}^{2}$ hat eine Darstellung

$$\mathbf{\hat{L}}^{2}=-\hbar ^{2}\left[ \frac{1}{\sin \theta ... ...{2}\theta }\frac{\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}% \right] .$$