Eigenwerte und Eigenfunktionen des Operators $\mathbf{\hat{L}}^{2}$

$$\mathbf{\hat{L}}^{2}\psi =L^{2}\psi .$$

Damit

$$\left[ \frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \thet... ...phi ^{2}}+\frac{L^{2}}{\hbar^2}\right] \psi (\theta ,\phi )=0.$$

Der Definitionsbereich der WF: $0\leq \phi <\pi$ und Randbedingungen sind: zyklisch in $\phi$: $\psi (\theta ,\phi )=\psi (\theta ,\phi +2\pi )$ (Eindeutigkeit), natürlich in $\theta$.

Variablentrennung: $\psi (\theta ,\phi )=\Psi (\theta )\Phi (\phi )$.

$$\Phi (\phi )\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial ... ...\Phi (\phi )+\frac{L^{2}}{\hbar^2}\Psi (\theta )\Phi (\phi )=0$$

oder

$$\frac{1}{\Psi (\theta )}\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial... ...2}% }{\partial \phi ^{2}}\Phi (\phi )+\frac{L^{2}}{\hbar^2}=0.$$

Man kann $\times \sin ^{2}\theta$ mutiplizieren. Die Gl. zerfällt dann in nur von $\phi$ und nur von $\theta$ abhängige Teile. Lsg. für $\Phi$ entspricht dem vorherigen: $\Phi (\phi )$ sind die Eigenfunktionen von $L_{z}$:

$$\Phi _{m}(\phi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{im\phi },$$

mit $m=0,\pm 1,...$- Azimuthalquantenzahl (oder magnetische Quantenzahl). Die Gl. für $\Psi$

$$\frac{1}{\sin \theta }\frac{d}{d\theta }\left( \sin \theta \... ...ar^2 }-\frac{m^{2}}{\sin ^{2}\theta }\right] \Psi (\theta )=0.$$

Das ist die assoziierte LEGENDREsche Gl.

Bemerkung: nimmt man $x=\cos \theta$ so erhält man nach einer einfachen Transformation

$$(1-x^{2})\frac{d^{2}}{dx^{2}}\Psi (x)-2x\frac{d}{dx}\Psi (x)... ...frac{L^{2}}{\hbar^2 }-\frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right] \Psi (x)=0,$$ (27)

$-1<x<1$. Die integrablen Ls'gen existieren nur für $L^{2}/\hbar^2 =n(n+1)$, das sind die assoziierten Legendre-Polynome $P_{n}^{m}$. Für $m=0$ bekommen wir die eigentliche Legendre-Gl.

$$(1-x^{2})\frac{d^{2}}{dx^{2}}P_{n}(x)-2x\frac{d}{dx} P_{n}(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.$$

Die Situation ist ''wie immer'': wenn man die Lsg. als allgemeine Potenzreihe hinschreibt, kann man die Koeffizienten anhand von Rekurrenzbedingungen bestimmen, siehe z.B. G.B. Arfken, H.J. Weber, Mathematical methods for Physicists, Harcourt, San Diego, 2001). Die Analyse der Konvergenz der Reihe zeigt, dass wenn diese nicht abbricht, so konvergiert die Reihe für alle $x$, $-1<x<1$, divergiert aber für $x \rightarrow \pm 1$ und hat solch starke Divergenz, dass die Funktionen nicht mehr integrabel sind. Bricht die Reihe ab (für $L^{2}/\hbar =n(n+1)$), so ist diese ein Polynom in $x$. In diesem Fall divergiert Sie nicht, und es gilt $P_n(1)=1$, $P_n(-1)=(-1)^n$.

Die Legendre-Polynome bekommt man als

$$P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n}n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^{2}-1)^{n}.$$

Die Legendre-Polynome erfüllen mehrere Rekurrenzbedingungen (siehe G.B. Arfken, H.J. Weber), deren Existenz weist auf die Möglichkeit der Einführung der Stufenoperatoren (analog zu Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren) hin. Die können aber auch auf einem physikalischen Wege eingeführt werden (später!). Man kann zeigen, dass die Ls'gen $P_{m}^{n}(x)$ für $m > 0$ aus den Ls'gen mit $m=0$ durch

$$P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}\frac{d^{m}}{dx^{m}}P_{n}(x)$$

bestimmt werden können (um das zu zeigen schreibe man die Gl. für $P_{n}^{m}(x)$ anhand der Gl. für $P_{n}(x)$ hin und überzeuge sich, das diese Gl. mit der Gl.(27) identisch ist). Die nichtverschwindenden Ls'gen gibt es nur für $\vert m\vert \leq n$. Die Ls'gen mit negativem $m$ könen anhand der Ls'gen mit positiven $m$ bestimmt werden

$$P_n^{-m}(x)=(-1)^m \frac{(n-m)!}{(n+m)!} P_{n}^{m}(x).$$

Orthogonalität: Es gilt:

$$\int_{-1}^{1} P_{k}^{m}(x) P_{n}^{m}(x)dx =\frac{2}{2n+1}\frac{(n+m)!}{(n-m)!} \delta_{n,k}.$$