Mathematischer Einschub: Die zugeordneten Laguerre-Polynome:

• Zusammenhang mit Lauerre-Polynomen (wohlbekannten Speziallfall mit $% k=0$)
  
  $$L_{n}^{k}(x)=(-1)^{k}\frac{d^{k}}{dx^{k}}L_{n+k}(x).$$
  
  

• Koeffizienten:
  
  $$L_{n}^{k}=\sum_{j=0}^{n}(-1)^{j}\frac{(n+k)!}{(n-j)!(k+j)!j!}x^{j},$$
  
  
  so dass
  $$\begin{eqnarray*} L_{0}^{k}(x) &=&1 \\ L_{1}^{k}(x) &=&-x+k+1 \\ L_{2}^{k}(x) &=&\frac{x^{2}}{2}-(k+2)x+\frac{(k+2)(k+1)}{2} \\ &&... \end{eqnarray*}$$
  
  

• Erzeugende Funktion:
  
  $$\frac{e^{-xz/(1-z)}}{(1-z)^{k+1}}=\sum_{n=0}^{\infty }L_{n}^{k}(x)z^{n},\qquad \left\vert z\right\vert <1.$$
  
  

• Rodrieges Formula
  
  $$L_{n}^{k}(x)=\frac{e^{x}x^{-k}}{n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}(e^{-x}x^{n+k}).$$
  
  

• Rekurrenzbeziehungen:
  $$\begin{eqnarray*} (n+1)L_{n+1}^{k}(x) &=&(2n+k+1)L_{n}^{k}(x)-(n+k)L_{n-1}^{k}(x... ... x\frac{d}{dx}L_{n}^{k}(x) &=&nL_{n}^{k}(x)-(n+k)L_{n-1}^{k}(x). \end{eqnarray*}$$
  
  

• Gewichtung und Normierung:
  
  $$\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{k}L_{n}^{k}(x)L_{m}^{k}(x)dx=\frac{(n+k)!}{n!}% \delta _{m,n}.$$
  
  

Da die Winkelanteile $Y_{l,m}(\theta ,\phi )$ der Wellenfunktionen ein orthonormiertes System der Funktionen bilden,

$$\int_{0}^{2\pi }d\phi \int_{0}^{\pi }d\theta \sin \theta Y_{... ...(\theta ,\phi )=\delta _{l,l^{\prime }}\delta _{m,m^{\prime }}$$

sind die Mittelwerte von $r$ nur durch die radiale Wellenfunktion bestimmt:

$$\left\langle \rho ^{k}\right\rangle _{n,l}=\int_{0}^{\infty }d\rho ~\rho ^{2+k}\left[ F(\rho )\right] ^{2}.$$

Für die Potenzen $\left\langle \rho ^{k}\right\rangle _{n,l}$ gilt eine nützliche KRAMERS-Relation:

$$\frac{k+1}{n^{2}}\left\langle \rho ^{k}\right\rangle _{n,l}-... ...2}-k^{2}\right] \left\langle \rho ^{k-2}\right\rangle _{n,l}=0$$

für $k+2l+1>0$ (siehe z.B. Nolting, Vol 5/2, §6.2 und Aufgabe 6.2.5). Dann genügt es $\left\langle \rho ^{0}\right\rangle =1$ und $% \left\langle \rho ^{-1}\right\rangle =\frac{Z}{n^{2}}$ separat auszurechnen, um die anderen Momenten von $\rho$ zu bestimmen.

• Aus $\left\langle \rho ^{-1}\right\rangle =\frac{Z}{n^{2}}$ folgt, dass der Mittelwert der potenziellen Energie des Elektrons im Coulomb-Feld in einem Zustand mit der Hauptquantenzahl $n$ (in Atomeinheiten) ist
  
  $$\left\langle U\right\rangle =\left\langle -\frac{Z}{\rho }\right\rangle = -\frac{Z^{2}}{n^{2}}=2\varepsilon _{n};$$
  
  
  d.h. die potentielle Energie ist die doppelte Gesamtenergie (und die kinetische Energie ist -1/2 der Gesamtenergie)

• Einige der Mittelwerte von Potenzen von $\rho =r/a$ in stationären Zuständen $n,l$ sind:
  

  $$\left\langle \rho \right\rangle = \frac{1}{2Z}\left[ 3n^{2}-l(l+1)\right]$$ (29)

  $$\left\langle \rho ^{2}\right\rangle = \frac{n^{2}}{2Z^{2}}\left[ 5n^{2}+1-3l(l+1)\right]$$ (30)

  $$\left\langle \frac{1}{\rho }\right\rangle = \frac{Z}{n^{2}}$$ (31)

  $$\left\langle \frac{1}{\rho ^{2}}\right\rangle = \frac{Z^{2}}{n^{3}(l+1/2)}.$$ (32)

  
  

• Der maximale Wert von $l$ ist $l=n-1$. Fur diesen Fall folgt aus den Gl'en (29) und (30) $\left\langle \rho \right\rangle =\frac{1}{% 2Z}(2n^{2}+n)$, so dass $\left\langle r\right\rangle =n(n+1/2)\frac{a}{Z}$ und $\left\langle \rho ^{2}\right\rangle =\frac{n^{2}}{2Z^{2}}\left( 2n^{2}+3n-1\right)$ (d.h. $\left\langle r^{2}\right\rangle =n^{2}(n+\frac{1}{2})(n+1)\frac{a^{2}}{Z^{2}}$ so dass $\Delta r=\sqrt{\left\langle r^{2}\right\rangle -\left\langle r\right\rangle ^{2}}=\frac{\left\langle r\right\rangle }{\sqrt{2n+1}}$. Für $n$ groß ist die Dispersion $% \Delta r$ klein. Der mittlere Radius $\left\langle r\right\rangle \approx n^{2}a/Z$ entspricht dem Radius der klassischen Kreisbahn, worauf die Bewegung mit der Energie $E_{n}=\frac{E_{0}}{2n^{2}}$ stattfindet (Korrespondenzprinzip): Die Zustände mit maximalen $l=n-1$ entsprechen den klassische Kreisbahnen: Das kann man mit dem Resultat der Bohr-Sommerfeld'schen Theorie vergleichen, anhand deren die Exzentrizität des Orbits $\sqrt{1-l^{2}/n^{2}}$ ist, welche gleich 0 ist wenn $l$ seinen maximalen Wert (hier: $n$) annimt.