Statistische Verteilung der Messresultate

Nehmen wir an, dass der Operator $\hat{A}$ ein VONS der Eigenfunktionen $% \left\vert \phi _{n}\right\rangle$ (Eigenwerte $a_{n}$) besitzt (Beispiele sind alle unsere Hamilton-Operatoren). Betrachten wir $\hat{A}\psi$:

$$\begin{eqnarray*} \hat{A}\psi &=&\hat{A}\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}\left\vert \phi... ...sum_{n=0}^{\infty }c_{n}a_{n}\left\vert \phi _{n}\right\rangle . \end{eqnarray*}$$

Diese Reihe konvergiert falls $\sum_{n=0}^{\infty }\left\vert c_{n}\right\vert ^{2}a_{n}^{2}$ konvergiert. $\sum_{n=0}^{\infty }\left\vert c_{n}\right\vert ^{2}a_{n}^{2}$ gleicht dann der Norm von $\hat{A}\left\vert \psi \right\rangle$. Das ist also ein Kriterium, dass $\hat{A}\left\vert \psi \right\rangle$ dem Hilbert-Raum angehört.

Diese Eigenschaft erlaubt, die Funktionen von Operatoren $\hat{A}$ zu definieren: Der Operator $F(\hat{A})$ ist definiert durch seine Einwirkung auf die Fkt. $\psi$ so dass

$$F(\hat{A})\psi =\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}F(a_{n})\left\vert \phi _{n}\right\rangle .$$

Der Operator $F(\hat{A})$ ist eindeutig definiert, falls die Reihe

$$\sum_{n=0}^{\infty }\left\vert c_{n}\right\vert ^{2}\left\vert F(a_{n})\right\vert ^{2}$$

konvergiert.

Bemerkungen:

1. Die Fkt. $F(\hat{A})\psi$ hängt nicht von einer konkreter Wahl von dem Basis $\left\vert \phi _{n}\right\rangle$.

2. Das Gleiche gilt, wenn die Basisfunktionen durch mehreren Zahlen $% \left\vert \phi _{n,m,l}\right\rangle$ numeriert werden.

Betrachten wir nun einen Operator $e^{i\xi \hat{A}}$ definiert für alle $% \psi$:

$$e^{i\xi \hat{A}}\psi =\sum_{n=0}^{\infty }e^{i\xi a_{n}}c_{n}\left\vert \phi _{n}\right\rangle ,$$

die Reihe konvergiert für alle $\psi \in L^{2}$ da $\sum_{n=0}^{\infty }\left\vert c_{n}\right\vert ^{2}$ für solche Funktionen konvergiert. Wir nehmen jetzt $\psi$ als normiert an, d.h. $\left\langle \psi \vert\psi \right\rangle =1$.

Jetzt können wir die Verteilung der Werte einer physikalischen Messgröße $A$ für jeden Zustand $\psi$ definieren: In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist

$$f(\xi )=\left\langle e^{i\xi A}\right\rangle$$

die charakteristische Funktion der Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Dichte $p(A)$. Im klassischen Fall gilt dann (in 1d)

$$f(\xi )=\int e^{i\xi A}p(A)dA.$$

(Bemerkung: Korrektere Betrachtung benutzt die Notation eines Stiltjes-Integrals: Wenn $F(x)$ die Wahrscheinlichkeit davon ist, dass $x<X$, so

$$f(\xi )=\int e^{i\xi A}dF(A).$$

Falls die Dichte $p(A)$ existiert, so ist $dF(A)=p(A)dA$.)

Die Verteilungsdichte $p(A)$ folgt durch inverse Fourier-Transform

$$p(A)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }e^{-i\xi A}p(A)dA.$$

Wir postulieren nun, dass auch in Quantenmechanik $\left\langle e^{i\xi \hat{A}}\right\rangle$ die charakteristische Funktion die entsprechende Verteilung der Messwerte von $A$ darstellt. Es gilt

$$f(\xi )=\sum_{n}w_{n}e^{i\xi a_{n}}$$

mit

$$w_{n}=\left\vert c_{n}\right\vert ^{2}.$$

Die Rücktransformation von $f(\xi )$ ergibt dann

$$p(A)=\sum_{n}w_{n}\delta (A-a_{n}).$$

Der Wert von $A$ kann nur die Werte von $a_{n}$ annehmen, d.h. nur der Eigenwerten des entsprechenden Operators $\hat{A}$. Aus der Parceval-Identität folgt dass

$$\sum_{n}w_{n}=1,$$

d.h. die Wahrscheinlichkeiten sind richtig normiert.

I.A. ist ein Mittelwert von einer Funktion $F(A)$

$$\left\langle F(A)\right\rangle =\sum_{n}w_{n}F(a_{n}).$$

Damit $A$ einen scharfen, festen Wert annimmt, ist es notwendig und hinreichend, dass $\psi$ eine Eigenfunktion von $\hat{A}$ ist.

Bemerkung: Charakterisiert man eine WF durch mehreren Indices, z.B. $\psi _{n,l,m}$, (wie für das Wasserstoffatom) wovon $l$ die Eigenfkt. von $A$ (sagen wir $\hat{L}^{2}$) numerieren, so ist

$$w_{l}=\sum_{n,m}\left\vert c_{n,l,m}\right\vert ^{2}.$$

Man kann auch unabhängig von der charakteristischen Funktion postulieren, dass

• Die möglichen Messergebnisse $a_{i}$ entsprechen den Eigenwerten des Operators $\hat{A}$. Die Messwahrscheinlichkeiten entsprechen $w_{i}=\left\vert \left\langle \phi _{i}\vert\psi \right\rangle \right\vert ^{2}$.