Next: Statistik der Messwerten im
Up: Hermite'sche Operatoren. Fall des
Previous: Hermite'sche Operatoren. Fall des
Contents
Nehmen wir an, dass der Operator ein VONS der Eigenfunktionen
(Eigenwerte ) besitzt (Beispiele sind
alle unsere Hamilton-Operatoren). Betrachten wir :
Diese Reihe konvergiert falls
konvergiert.
gleicht dann der Norm von
. Das ist also ein Kriterium, dass
dem
Hilbert-Raum angehört.
Diese Eigenschaft erlaubt, die Funktionen von Operatoren zu
definieren: Der Operator ist definiert durch seine Einwirkung
auf die Fkt. so dass
Der Operator ist eindeutig definiert, falls die Reihe
konvergiert.
Bemerkungen:
- Die Fkt.
hängt nicht von einer konkreter Wahl
von dem Basis
.
- Das Gleiche gilt, wenn die Basisfunktionen durch mehreren Zahlen
numeriert werden.
Betrachten wir nun einen Operator
definiert für alle :
die Reihe konvergiert für alle
da
für solche Funktionen konvergiert. Wir nehmen
jetzt als normiert an, d.h.
.
Jetzt können wir die Verteilung der Werte einer physikalischen Messgröße
für jeden Zustand definieren: In der Wahrscheinlichkeitsrechnung
ist
die charakteristische Funktion der Wahrscheinlichkeitsverteilung
mit Dichte . Im klassischen Fall gilt dann (in 1d)
(Bemerkung: Korrektere Betrachtung benutzt die Notation eines
Stiltjes-Integrals: Wenn die Wahrscheinlichkeit davon ist, dass ,
so
Falls die Dichte existiert, so ist .)
Die Verteilungsdichte folgt durch inverse Fourier-Transform
Wir postulieren nun, dass auch in Quantenmechanik
die charakteristische Funktion die
entsprechende Verteilung der Messwerte von darstellt. Es gilt
mit
Die Rücktransformation von ergibt dann
Der Wert von kann nur die Werte von annehmen, d.h. nur der
Eigenwerten des entsprechenden Operators . Aus der
Parceval-Identität folgt dass
d.h. die Wahrscheinlichkeiten sind richtig normiert.
I.A. ist ein Mittelwert von einer Funktion
Damit einen scharfen, festen Wert annimmt, ist es notwendig und hinreichend,
dass eine Eigenfunktion von ist.
Bemerkung: Charakterisiert man eine WF durch mehreren Indices, z.B.
, (wie für das Wasserstoffatom) wovon die Eigenfkt.
von (sagen wir ) numerieren, so ist
Man kann auch unabhängig von der charakteristischen Funktion postulieren,
dass
- Die möglichen Messergebnisse entsprechen
den Eigenwerten des Operators . Die
Messwahrscheinlichkeiten entsprechen
.
Next: Statistik der Messwerten im
Up: Hermite'sche Operatoren. Fall des
Previous: Hermite'sche Operatoren. Fall des
Contents
Prof. Igor Sokolov
2005-02-14