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Nicht alle Messgrößen können gleichzeitig gemessen werden (z.B.
Impuls und Koordinate, lt. der Unschärferelation). Diejenige Messbaren,
die gleichzeitig scharfe Werte besitzen werden als verträglich
bezeichnet. Wie wir schon am Beispielen gesehen haben, entsprechen solche
Messbaren den kommutierenden Operatoren.
Betrachten wir 2 Observablen, und . Nehmen wir an, dass die
Operatoren und die gleiche Eigenfunktion
haben, d.h.
und
Wenn ein physikalisches System zur Zeit der Messung in dem Zustand
sich befindet, so wird die Messung von und
die Werte und liefern. Eine notwendige Bedingung dafür ist
Diese Gleichung ist automatisch erfüllt, wenn
i.e. wenn die Operatoren und kommutieren.
- Wenn 2 Operatoren und kommutieren, so haben sie
das gleiche VONS von Eigenfunktionen, und umgekehrt, wenn 2 Operatoren das
gleiche VONS von Eigenfunktionen besitzen, so kommutieren sie.
- Die Messbaren, die den kommutierenden Operatoren und entsprechen, sind verträglich, d.h. das Resultat der
Messungen hängt nicht davon ab, welcher Wert, und , zuerst
gemessen wird. Nach solcher Messung wird die WF des Systemes einer gemeinsamen
WF der Eigenwerte und entsprechen.
Beweis: Nehmen wir an, dass
.
Sei eine EF von zur EW . Diese Fkt. kann über
das VONS von Operator entwickelt werden:
wobei
eine EF von zur EW ist (nicht
unbedingt auf 1 normiert). Es kann stets so gemacht werden, dass alle EF
zu unterschiedlichen EW angehören (wenn
es nicht so ist, und den Wert entartet ist, wählen wir einfach
die entsprechende Linearkombination von
als die
EF). Führen wir eine Funktion
ein.
Da und kommutieren, gilt
Da alle EW unterschiedlich sind, sind die WF linear unabhängig.
Gleichzeitig gilt aber
Das ist aber nur dann möglich, wenn jede
verschwindet.
sind gleichzeitig die EF von
.
Betrachten wir nun das VONS von EF von ,
Diese Fkt'en können dann als
dargestellt werden, wobei
die EF sowohl von
als auch von sind. Die Fkt.
brauchen nicht zueinander orthogonal sein, können
aber dann orthogonalisiert werden. Nach Orthogonalisierung erhalten wir ein
VONS
so dass
Die Funktionen bilden das gemeinsames VONS der EF von
und .
Umgekehrt, bilden das gemeinsame VONS der EF von und , so gilt
so dass
. Da jede WF
über entsprechende VONS entwickelt werden kann, so
und
- Die hintereinender geschalteten Filter für verschiedene
verträgliche Variablen schaffen die Zustände mit mehreren
vorgegebenen Eigenschaften (die Messung der nicht-verträglichen
Variablen, z.B. die Koordinatenmessung nach dem Impulsmessung, stört die
Genauigkeit der vorherigen Vorgabe).
Bemerkung: Aus der kommutierenden Observablen und
kann man neue Observable bilden, . Die Funktion der 2 Operatoren
, auf angewandt, ergibt
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Prof. Igor Sokolov
2005-02-14