Die Lineare Operatoren

Die Operatoren der Quantenmechanik können nun auch i.A. ohne Bezug auf die Ortsdarstellung der Wellenfunktionen eingeführet werden. Ein Operator $\hat{A}$ ordnet jedem Ket $\left\vert \alpha \right\rangle$ aus seinem Definitionsbereich $D_{A}$ einen Ket $\left\vert \beta \right\rangle$ aus seinem Werteberiech zu:

$$\left\vert \beta \right\rangle =\hat{A}\left\vert \alpha \right\rangle .$$

Zwei Operatoren $\hat{A}_{1}$ und $\hat{A}_{2}$ sind identisch, falls die beiden den gleichen Definitionsbereich haben, und für jeden $\left\vert \alpha \right\rangle$ aus der Definitionsbereich gilt

$$\hat{A}_{1}\left\vert \alpha \right\rangle =\hat{A}_{2}\left\vert \alpha \right\rangle .$$

Der Identitätsoperator wir definiert durch

$$\hat{I}\left\vert \alpha \right\rangle =\left\vert \alpha \right\rangle$$

und der Null-Operator durch

$$\hat{0}\left\vert \alpha \right\rangle =\left\vert 0\right\rangle .$$

Der Operator ist linear falls für jede $\left\vert \alpha \right\rangle \in D_{A}$ und $\left\vert \beta \right\rangle \in D_{A}$ gilt:

$$\hat{A}\left( \lambda _{1}\left\vert \alpha \right\rangle +\... ...t\rangle +\lambda _{2}\hat{A}\left\vert \beta \right\rangle .$$

Die linearen Operatoren sind assoziativ und kommutativ gegenüber der Addition, allerdings nicht kommutativ gegenüber der Multiplikation (nacheinenderwirken).

• Der zu $\hat{A}$ adjungierter Operator $\hat{A}^{+}$
  • Definitionsbereich: $D_{A^{+}}$: die Menge aller $\left\vert \gamma \right\rangle \in H$, für die ein $\left\vert \bar{\gamma}\right\rangle \in H$ existiert, so dass für jede $\left\vert \alpha \right\rangle \in D_{A}$ gilt: $\left\langle \gamma \vert\hat{A}\vert\alpha \right\rangle =\left\langle \bar{\gamma}\vert\gamma \right\rangle$.

  • Abbildungsvorschrift: $\hat{A}^{+}\left\vert \gamma \right\rangle =\left\vert \bar{\gamma}\right\rangle$.

  Eigenschaften:

• Seien $\left\vert \alpha \right\rangle \in D_{A}$ und $\left\vert \gamma \right\rangle \in D_{A^{+}}$, so gilt: $\left\langle \gamma \vert\hat{A}\vert\alpha \right\rangle =\left\langle \alpha \vert\hat{A}^{+}\vert\gamma \right\rangle ^{*}$.

• Bei passendem Definitionsbereich $\left( \hat{A}^{+}\right) ^{+}=\hat{% A}$.

• $\hat{A}^{+}$ wirkt im dualen Raum $H^{*}$ so wie $\hat{A}$ in $H$:
  
  $$\left\vert \beta \right\rangle =\hat{A}\left\vert \alpha \ri... ...ight\vert \hat{A}^{+}=\left\langle \hat{A}\alpha \right\vert .$$
  
  

• Für das Produkt zweier Operatoren gilt: $\left( \hat{A}\hat{B}\right) ^{+}=\hat{B}^{+}\hat{A}^{+}$.

• Ein hermite'scher Operator: $D_{A}=D_{A^{+}}=H$, $\hat{A}^{+}=\hat{A}$.