Spezielle Operatoren

Hier führen wir die wichtigen Typen der Operatoren ein für weiteren Gebrauch.

• Der inverse (oder reziproke) Operator: Für einen Operator $\hat{A}$ mit umkehrbar eindeutiger Abbildungsvorschrift
  
  $$\left\vert \beta \right\rangle =\hat{A}\left\vert \alpha \right\rangle$$
  
  
  deren Definitions- und Wertebereiche zusammenfallen, kann ein inverser Operator $\hat{A}^{-1}$ definiert werden, so dass
  
  $$\left\vert \alpha \right\rangle =\hat{A}^{-1}\left\vert \beta \right\rangle .$$
  
  
  Es gilt:
  
  $$\hat{A}\hat{A}^{-1}=\hat{A}^{-1}\hat{A}=\hat{I}.$$
  
  
  Für die adjungierten Operatoren gilt:
  
  $$\left( \hat{A}^{+}\right) ^{-1}=\left( \hat{A}^{-1}\right) ^{+}.$$
  
  

• Der unitärer Operator: $\hat{U}^{+}\hat{U}=\hat{U}\hat{U}% ^{+}=\hat{I}$, d.h. $\hat{U}^{-1}=\hat{U}^{+}$. Die unitäre Operatoren ändern nicht das Skalarprodukt der Zustandsvektoren, und entsprechen der Rotationen im Hilbertraum der Zustände: wenn $\left\vert \psi ^{\prime }\right\rangle =\hat{U}\left\vert \psi \right\rangle$ und $\left\vert \phi ^{\prime }\right\rangle =\hat{U}\left\vert \phi \right\rangle$ so gilt
  
  $$\left\langle \psi ^{\prime }\vert\phi ^{\prime }\right\rangl... ...phi \right\rangle =\left\langle \psi \vert\phi \right\rangle .$$
  
  
  Die Änderung der Operatoren bei solcher Rotation ist wie folgt:
  
  $$\hat{A}^{\prime }=\hat{U}\hat{A}\hat{U}^{+}$$
  
  
  so dass $\left\langle \psi ^{\prime }\vert\hat{A}^{\prime }\vert\phi ^{\prime }\right\rangle =\left\langle \psi \vert\hat{A}\vert\phi \right\rangle$.

• Das dyadische Produkt: für $\left\vert \alpha \right\rangle ,\left\vert \beta \right\rangle \in D_{A}$ ist $D_{\alpha \beta }=\left\vert \beta \right\rangle \left\langle \alpha \right\vert$ so definiert dass
  
  $$D_{\alpha \beta }\left\vert \gamma \right\rangle =\left\vert... ...pha \vert\gamma \right\rangle \left\vert \beta \right\rangle .$$
  
  
  Der dazu adjungierte Operator $\left( \left\vert \beta \right\rangle \left\langle \alpha \right\vert \right) ^{+}=\left\vert \alpha \right\rangle \left\langle \beta \right\vert$. Der Operator $\left\vert \alpha \right\rangle \left\langle \beta \right\vert$ besitzt keine Inverse.

• Das diagonale dyadische Produkt $P_{\alpha }=\left\vert \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right\vert$ ist ein Projektionsoperator auf die Richtung $\left\vert \alpha \right\rangle$:
  
  $$P_{\alpha }\left\vert \gamma \right\rangle =\left\langle \alpha \vert\gamma \right\rangle \left\vert \alpha \right\rangle .$$
  
  
  Eigenschaften:
  • $P_{\alpha }^{2}\left\vert \gamma \right\rangle =P_{\alpha }P_{\alpha }\left\vert \gamma \right\rangle =P_{\alpha }\left\vert \gamma \right\rangle$ (idempotenz).

  • Wenn die Zustände $\left\vert \alpha \right\rangle$ und $\left\vert \beta \right\rangle$ orthogonal sind, gilt: $P_{\alpha }P_{\beta }\left\vert \gamma \right\rangle =0$.