Die Energiedarstellung.

Zur Darstellung des Zustandsvektors $\left\vert E\right\rangle$ wählen wir als Basisfunktionen nun die Eigenfunktionen eines Hamiltonoperators (wir betrachten den Fall des diskreten Spektrums). In Ortsdarstellung bezeichnen wir diese Funktionen mit

$$\psi _{E_{n}}(x)=\left\langle x\vert E_{n}\right\rangle .$$

Für die konjungierten benutzen wir

$$\psi _{E_{n}}^{*}(x)=\left\langle E_{n}\vert x\right\rangle .$$

Die Orthonormiertheit der EF kann man in der Form

$$\int dx\psi _{E_{m}}^{*}(x)\psi _{E_{n}}(x)=\delta _{mn}$$

oder

$$\int dx\left\langle E_{m}\vert x\right\rangle \left\langle x... ...ngle =\left\langle E_{m}\vert E_{n}\right\rangle =\delta _{mn}$$

schreiben. Entwickeln wir die Funktionen der Ortsdarstellung des Zustandsvektors $\left\vert a\right\rangle$, d.h. $\phi _{a}(x)=\left\langle x\vert a\right\rangle$, so bekommen wir

$$\left\langle x\vert a\right\rangle =\sum_{E_{n}}\left\langle... ...rt E_{n}\right\rangle \left\langle E_{n}\vert a\right\rangle .$$

Der 1. Multiplikator ist nichts anderes als $\psi _{E_{n}}(x)$, und der Zweite nichtd anders als der Entwicklungskoeffizient von Zustand $\left\vert a\right\rangle$ in der VONS von Eigenfunktionen von $\hat{H}$ (in gewöhnlicher Schreibweise sollte man statt $\left\vert E_{n}\right\rangle$ eigentlich $\left\vert n\right\rangle$ schreiben, und über $n$ summieren; die jetzige Schreibweise unterstreicht dass $n$ eigentlich die mögliche Energien der Eigenzuständen numeriert). Diese ist nichts anders als unsere vorherige Entwicklung

$$\phi _{a}(x)=\sum_{n}c_{n}\psi _{n}(x).$$

Das Skalarprodukt $\psi _{a}(E_{n})=\left\langle E_{n}\vert a\right\rangle$ fassen wir als die Wellenfunktion des Zustandes $\left\vert a\right\rangle$ in der Energiedarstellung auf. Die unabhängige Veränderliche der Wellenfunktion in Energiedarstellung $E_{n}$ ist diskret, es ist die Energie des Systems, und das Betragsquadrat der WF in der Energiedarstellung

$$W(E_{n})=\left\vert \psi _{a}(E_{n})\right\vert ^{2}=\left\vert \left\langle E_{n}\vert a\right\rangle \right\vert ^{2}$$

ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Messung der Energie in dem Zustand $% \left\vert a\right\rangle$ den Wert $E_{n}$ zu bekommen. Waren die Funktionen in Ortsdarstellung normiert, so sind sie es in der Energiedarstellung auch: Stellt man die Definitionen $\left\langle x\vert a\right\rangle =\sum_{E_{n}}\left\langle x\vert E_{n}\right\rangle \left\langle E_{n}\vert a\right\rangle$ und $\left\langle a\vert x\right\rangle =\sum_{E_{n}}\left\langle a\vert E_{n}\right\rangle \left\langle E_{n}\vert x\right\rangle$ in der Normierungsbedingung für Koordinatendarstellung

$$1=\int dx\left\vert \phi _{a}(x)\right\vert ^{2}=\int dx\lef... ...ngle a\vert x\right\rangle \left\langle x\vert a\right\rangle$$

ein, so erhält man

$$\begin{eqnarray*} 1 &=&\int dx\left\langle a\vert x\right\rangle \left\langle x\... ...hat{I}\vert a\right\rangle =\left\langle a\vert a\right\rangle . \end{eqnarray*}$$