Die Impulsdarstellung

Impuls, wie Koordinate auch, entspricht einem Operator mit kontinuierlichen Spektrum. In der Impulsdarstellung ($p$-Darstellung) sind die Basisfunktionen die Eigenfkt. von Impulsoperator $\phi _{p}(x)=\left\langle x\vert p\right\rangle$. Sie sind orthonormiert

$$\int dx\phi _{p^{\prime }}^{*}(x)\phi _{p}(x)=\int dx\left\l... ...angle p^{\prime }\vert p\right\rangle =\delta (p^{\prime }-p).$$

Wir entwickeln die Wellenfunktion $\psi _{a}(x)=\left\langle x\vert a\right\rangle$ des Zustandes $\left\vert a\right\rangle$ nach VONS der EF von $\hat{p}$:

$$\psi _{a}(x)=\int dp\phi _{p}(x)\psi _{a}(p),$$ (44)

oder

$$\left\langle x\vert a\right\rangle =\int dp\left\langle x\vert p\right\rangle \left\langle p\vert a\right\rangle .$$ (45)

Die Funktionen $\psi_{a}(p)=\left\langle p\vert a\right\rangle$ bestimmen den Zustandsvektor in $p$-Darstellung. Das Betragsquadrat dieser Funktion ist die Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum:

$$w(p)=\left\vert \left\langle p\vert a\right\rangle \right\vert ^{2}=\left\vert \psi _{a}(p)\right\vert ^{2}.$$

Die inverse Transformation lautet

$$\left\langle p\vert a\right\rangle =\int dx\left\langle p\vert x\right\rangle \left\langle x\vert a\right\rangle .$$

Die EF des Impulsoperators in Ortsdarstellung sind explizit bekannt:

$$\left\langle x\vert p\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar }}\exp \left( \frac{% ipx}{\hbar }\right) .$$

Die Fkt. der inversen Transformation lautet dann

$$\left\langle p\vert x\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar }}\exp \left( -% \frac{ipx}{\hbar }\right) ,$$

das ist die EF des Ortes in Impulsdarstellung.