Starke Entartung, $\sigma \gg 1$

Das Verhalten von $f_{5/2}(\sigma )$ und $f_{3/2}(\sigma )$ für $\sigma \gg 1$ lautet

$$f_{5/2}(\sigma )=\frac{4}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{\infty }dx\,... ...+\frac{5\pi ^{2}}{8\left( \ln \sigma \right) ^{2}}+...\right]$$

und

$$f_{3/2}(\sigma )=\sigma \frac{d}{d\sigma }f_{5/2}(\sigma )\s... ...% \frac{\pi ^{2}}{8\left( \ln \sigma \right) ^{2}}+...\right]$$

Aus $\frac{N}{V}=\frac{2}{\lambda ^{3}}f_{3/2}(\sigma )$ folgt dann:

$$\frac{\mu }{kT}=\ln \sigma \simeq \frac{\epsilon _{F}}{\kapp... ...}}{12}\left( \frac{kT}{\epsilon _{F}}\right) ^{2}+...\right] .$$

Damit folgt

$$E=\frac{3kTV}{\lambda ^{3}}f_{5/2}(\sigma )\simeq \frac{3}{5... ...}}{12}\left( \frac{kT}{\epsilon _{F}}\right) ^{2}+...\right] .$$

Die spezifische Wärme

$$C_{V}=\left( \frac{\partial E}{\partial T}\right) _{V}\simeq N\frac{\pi ^{2}k^{2}}{2\epsilon _{F}}T$$

strebt gegen 0 für $T\rightarrow 0$ (3. Hauptzstz!).

Die thermische Zustandsgleichung lautet:

$$p=\frac{2E}{3V}={\underbrace{\frac{2}{5}% \frac{N}{V}\epsilo... ...}{12}\left( \frac{kT}{% \epsilon _{F}}\right) ^{2}+...\right]$$

Die Entropie

$$S=\frac{1}{T}\left( \frac{5}{3}E-\mu N\right) \simeq \frac{N\pi ^{2}k^{2}T}{% 2\epsilon _{F}}\approx C_{V}$$

strebt gegen 0 für $T\rightarrow 0$ (3. HS).

Anwendungen bezüglich der Leitungselektronen in Metallen: siehe Hausaufgaben.