Die Kompressibilitätsgleichung

Die isothermische Kompressibilität eines Fluids

$$\kappa _{T}=-\frac{1}{V}\left( \frac{\partial V}{\partial p}\right) _{T}$$

Für ein Idealgas gilt

$$\kappa _{T}^{\rm ideal}=\frac{1}{p}=\frac{V}{NkT}$$

Somit

$$\frac{\kappa _{T}}{\kappa _{T}^{\rm ideal}}=\frac{NkT}{V}\ka... ...p}\right) _{T,N}=c\int_{0}^{\infty }h(r;T)\cdot 4\pi r^{2}dr.$$

Allgemeine Betrachtung der Dichteschwankungen: Wie bereits bewiesen, gilt:

$$\left\langle N^{2}\right\rangle -\left\langle N\right\rangle... ... Z=kT\left( \frac{\partial N}{% \partial \mu }\right) _{T,V}.$$

Aus der Thermodynamik folgt:

$$\left( \frac{\partial N}{\partial \mu }\right) _{T,V}=-\left... ... \frac{\partial p}{\partial \mu }% \right) _{T,V}\right] ^{2}$$

Hier ist die Herleitung des thermodynamischen Beziehung:

$$\begin{eqnarray*} \left( \frac{\partial N}{\partial \mu }\right) _{T,V} &=&\frac... ...ht) _{T,N}\left( \frac{\partial N}{\partial V}\right) _{T,\mu }. \end{eqnarray*}$$

Darüberhinaus gilt eine Maxwell-Beziehung (folgt aus $\Omega$):

$$\frac{\partial ^{2}\Omega }{\partial V\partial \mu }=\left( ... ...mu }=\left( \frac{\partial p}{\partial \mu }% \right) _{T,V}.$$

Da $\Omega =-pV$ eine extensive Größe ist, gilt $\Omega (T,\zeta V,\mu )=\zeta \Omega (T,V,\mu )$, das bedeutet, dass $p(T,\zeta V,\mu )\cdot \zeta V=\zeta p(T,V,\mu )V$, so dass $p$ eigentlich volumenunabhängig (oder Teichenzahlunabhängig) ist: in einem System mit vorgegebenem $\mu$ hängt der Druck nur von $T$ ab (vgl. Photonengas!). Bei vorgegebenen Volumen stellt sich die Teilchenzahl so ein, dass $p(T,V,\mu )=p(T,\mu )$; bei vorgegebener mittleren Teilchenzahl stellt sich entsprechend das Volumen ein! Also $\left( \frac{\partial p}{\partial \mu }\right) _{T,N}=$ $\left( \frac{\partial p}{\partial \mu }\right) _{T,V}$, das zweite Bedingung ($% N=const$ oder $V=const$ ist eigentlich redundant). Andere Herleitung siehe BALESCU, Kap. 4.6.

Weiterhin gilt

$$\left( \frac{\partial p}{\partial \mu }\right) _{T,V}=\frac{... ...frac{kT}{V}\frac{\partial }{\partial \mu }% \ln Z=\frac{N}{V}$$

$\Rightarrow$

$$\left( \frac{\partial N}{\partial \mu }\right) _{T,V}=-\left... ...al \mu }\right) _{T,V}\right] ^{2}=\frac{\kappa _{T}}{V}N^{2}$$

und

$$\kappa _{T}=\frac{V}{kT}\frac{\left\langle N^{2}\right\rangl... ...langle N\right\rangle ^{2}}{\left\langle N\right\rangle ^{2}}$$

Nun gilt es:

$$\begin{eqnarray*} &&\left\langle N^{2}\right\rangle =\int \int d^{3}\mathbf{r}d^... ...N}% \mathbf{q}_{i} \\ &&\quad \mbox{(ungleiche }i\mbox{ und }j) \end{eqnarray*}$$

Das erste Integral ist $N$; das zweite ist das Integral über die Zweiteilchenverteilung:

$$\begin{eqnarray*} \left\langle N^{2}\right\rangle &=&N+\int \int d^{3}\mathbf{r}... ...(\mathbf{r-r}^{\prime })= \\ &=&N+Nc\int g(r)\cdot 4\pi ^{2}dr. \end{eqnarray*}$$

Dann hat man

$$\begin{eqnarray*} \left\langle N^{2}\right\rangle -N^{2} &=&N+Nc\int g(r)\cdot 4\pi ^{2}dr-N^{2}= \\ &=&N+Nc\int h(r)\cdot 4\pi ^{2}dr. \end{eqnarray*}$$

Daher ist

$$\frac{\kappa _{T}}{\kappa _{T}^{\rm ideal}}=\frac{\left\langle N^{2}\right\rangle -N^{2}}{N}=1+c\int h(r)\cdot 4\pi ^{2}dr.$$

Das ist eine sehr elegante Formel die auch in der Theorie kritischer Phänomene eine große Rolle spielt!