Die Wigner'sche Verteilungsfunktion.

Einfachheitshalber, benutze ich hier die eindimensionale Notation.

Wigner-Repräsentation für eine mechanische Observable $A$ (Operator $% A$):

$$A_{w}(p,q)=\int_{-\infty }^{\infty }dre^{-ipr/\hbar }\left\langle x\right\vert A\left\vert x^{\prime }\right\rangle .$$

Notation: Hier ist $q=(x+x^{\prime })/2$, $r=x-x^{\prime }$ und $% \left\langle x\right\vert A\left\vert x^{\prime }\right\rangle =\sum_{n,m}\phi _{n}(x)A_{nm}\phi _{m}^{*}(x^{\prime })$. Umschreiben: $x=q+r/2$, $% x^{\prime }=q-r/2$:

$$A_{w}(p,q)=\int_{-\infty }^{\infty }dre^{-ipr/\hbar }\left\l... ...rac{r}{2}\right\vert A\left\vert q-\frac{r}{2}\right\rangle .$$

$r$ ist die Koordinate, und $p$ ist mít dem Impuls verbunden.

Betrachten wir die 2 Spezialfälle:

$\bullet$ $A=U(x)$ ist eine Funktion nur von der Koordinate. Dann folgt $% \left\langle x\right\vert A\left\vert x^{\prime }\right\rangle =U(x)\delta (x-x^{\prime })=U(q+r/2)\delta (r)$ $\Rightarrow$ $U_{w}(p,q)=U(q)$.

$\bullet$ $A=K(p)$ ist nur eine Funktion vom Impuls. Dann gilt

$$\left\langle x\right\vert K\left\vert x^{\prime }\right\rang... ...K(-i\hbar \frac{\partial } {\partial x})\delta (x-x^{\prime })$$

und

$$K_{w}(p,q)=\int_{-\infty }^{\infty}dr e^{-ipr/\hbar }K\left[ -i\h... ...\atop \mbox{auf nichts}} +\frac{\partial }{\partial r}\right) \right] \delta(r)$$

$$=\int_{-\infty }^{\infty }dre^{-ipr/\hbar }K\left[ -i\hbar \frac{\partial}{\partial r} \right] \delta (r)=K(p).$$

Um das zu sehen, nehmen wir an, dass $K(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...$ . Dann ist das Glied 1. Ordnung

$$\int_{-\infty }^{\infty }dre^{-ipr/\hbar }a_{1}(-i\hbar )\fr... ...i\hbar )% \frac{\partial }{\partial r}e^{-ipr/\hbar }=a_{1}p.$$

(partielle Integration). Die höhere Potenzen: analog, durch wiederholte partielle Integration.