Heisenberg-Bild und Korrespondenzprinzip

Obwohl das Schrödinger-Bild zu der Schrödinger-Gleichung für die Wellenfunkzion führt, die einfacher zu lösen ist, als die Heisenberg-Gl. für die Operatoren, finden einige Eingeschaften der Bewegung der Quantensysteme im Heisenbeg-Bild ihre einfachere Darstellung.

Betrachten wir ein Quantensystem, das ein klassisches Analog besitzt (kein Spin!), und vergleichen wir die Eigenschaften der beiden Beschreibungen. Es gilt:

$$\frac{d\hat{x}}{dt}=\frac{1}{i\hbar }\left[ \hat{x},\hat{H}\right]$$

und

$$\frac{d\hat{p}}{dt}=\frac{1}{i\hbar }\left[ \hat{p},\hat{H}\right] .$$

Der Hamiltonian $\hat{H}$ lässt sich schreiben als $\hat{H}=\hat{p}% ^{2}/2m+U(\hat{x})$ (in dem Fall des Magnetfeldes gibt es noch Mischglieder). Wir betrachten nun $U(x)$ als eine analytische Funktion von $x$ (Taylor-Entwicklung) und benutzen die Eigenschaften

$$\left[ \hat{x},\hat{p}^{n}\right] =ni\hbar \hat{p}^{n-1}\equiv i\hbar \frac{d}{d\hat{p}}\hat{p}^{n}$$

und

$$\left[ \hat{p},\hat{x}^{n}\right] =-ni\hbar \hat{x}^{n-1}\equiv -i\hbar \frac{d}{d\hat{x}}\hat{x}^{n}$$

(wobei wir die Differenzierung nach einem Operator rein formal betrachten²) so bekommen wir

$$\frac{d\hat{x}}{dt}=\frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{p}}$$

und

$$\frac{d\hat{p}}{dt}=-\frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{p}},$$

was als vollständiges quantenmechanisches Analogon zu den klassischen Hamilton-Gl'en

$$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} &=&\frac{\partial H}{\partial p} \\ \frac{dp}{dt} &=&-\frac{\partial H}{\partial p} \end{eqnarray*}$$

betrachtet werden kann.

Die allgemeine Bewegungsgleichung für eine Messbaren $A$ in der Quantenmechanik, Gl.(47), hat ihre klassische Entsprechung in der Bewegungsgleichung

$$\frac{dF}{dt}=\left\{ F,H\right\} +\frac{\partial F}{\partial t}$$ (48)

($F$ --eine klassisch Messbare, eine Fkt. von $p$ und $x$), wobei $\left\{ F,H\right\}$ eine Poissonklammer ist,

$$\left\{ F,H\right\} =\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\par... ...p}-\frac{\partial F}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial x}.$$

Das gleiche gilt in höheren Dimensionen, mit

$$\left\{ F,H\right\} =\sum_{i}\left( \frac{\partial F}{\parti... ...l F}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial x_{j}}\right) .$$

Die klassische Gl.(48) ist identisch in Form mit der quantenmechanischen Gl.(47), wenn man den Kommutator als quantenmechanisches Pendant zur Poissonklammer betrachtet:

$$\begin{array}{lll} \mathrm{klassische\;Mechanik} & & \mathrm... ...bar }\left( \hat{F}\hat{H}-\hat{H}\hat{F}\right) \end{array}.$$