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Das Problem der Störungstheorien lässt sich allgemeiner formulieren.
Wir gehen aus von den Eigenschaften
und benutzen die spezielle Normierungsvorschrift
(in 1. Ordnung ist das automatisch erfüllt; die WF höherer Ordnungen
müssen nachnormiert werden!). Aus solcher Normierung folgt
und
Daher ist die exakte Niveauverschiebung
Wir definieren den Projektionsoperator
und
Es gilt
.
und
kommutieren mit
:
.
Schreiben wir die Eigenwertsgleichung wie folgt um:
(
- eine reelle Zahl). Der Operator
besitzt eine
Inverse3, falls
keinen Eigenwert besitzt, dass
gleich ist. Daher:
Benutzen wir jetzt die Projektionsoperatoren:
Die Gleichung lässt sich iterieren. Der Operator
kommutiert mit
und ist idempotent,
. Daher
Die Niveauverschiebung ist dann
Da
das Niveau
aus
der Summierung ausschliesst, ist es eigentlich möglich
anzunehmen. Daher bis zum ![$m=1$](img2016.png)
Formen wir das 2. Glied um durch explizite Ausschreibung von dem ersten
Schreiben wir den zweiten
explizit aus:
Der Operator
ist in der
Energiedarstellung des ungestörten Problem diagonal, so dass
und die Summe über
entfällt.
, und gibt keinen Beitrag
für
. Man erhällt also
unsere gewohnte Gleichung für die Störungstheorie 2. Ordnung.
Die Wahl
, noch unbekannter Energie, ergibt gleichermassen in 2.
Ordnung
das Brillouin-Wigner'sches Resultat.
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Prof. Igor Sokolov
2005-02-14