Störungstheoretische Grundformel

Das Problem der Störungstheorien lässt sich allgemeiner formulieren. Wir gehen aus von den Eigenschaften

$$\begin{eqnarray*} \hat{H}\left\vert E_{n}\right\rangle &=&E_{n}\left\vert E_{n}\... ...}\right\rangle &=&E_{n}^{(0)}\left\vert E_{n}^{(0)}\right\rangle \end{eqnarray*}$$

und benutzen die spezielle Normierungsvorschrift

$$\left\langle E_{n}^{(0)}\vert E_{n}\right\rangle =1$$

(in 1. Ordnung ist das automatisch erfüllt; die WF höherer Ordnungen müssen nachnormiert werden!). Aus solcher Normierung folgt

$$E_{n}=\left\langle E_{n}\vert\hat{H}\vert E_{n}^{(0)}\right\rangle$$

und

$$\left\langle E_{n}\vert\hat{H}_{0}\vert E_{n}^{(0)}\right\ra... ...left\langle E_{n}\vert E_{n}^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}.$$

Daher ist die exakte Niveauverschiebung

$$E_{n}-E_{n}^{(0)}=\left\langle E_{n}\vert\hat{W}\vert E_{n}^... ...left\langle E_{n}^{(0)}\vert\hat{W}\vert E_{n}\right\rangle .$$

Wir definieren den Projektionsoperator

$$\hat{P}_{n}=\left\vert E_{n}^{(0)}\right\rangle \left\langle E_{n}^{(0)}\right\vert$$

und

$$\hat{Q}_{n}=\hat{I}-\hat{P}_{n}=\sum_{m\neq n}\left\vert E_{m}^{(0)}\right\rangle \left\langle E_{m}^{(0)}\right\vert .$$

Es gilt $\hat{P}_{n}\left\vert E_{n}\right\rangle =\left\vert E_{n}^{(0)}\right\rangle$. $\hat{P}_{n}$ und $\hat{Q}_{n}$ kommutieren mit $% \hat{H}_{0}$: $\left[ \hat{P}_{n},\hat{H}_{0}\right] =\left[ \hat{Q}_{n},% \hat{H}_{0}\right] =0$.

Schreiben wir die Eigenwertsgleichung wie folgt um:

$$\left( D\hat{I}-\hat{H}_{0}\right) \left\vert E_{n}\right\ra... ...}\right) \hat{I}+\hat{W}\right] \left\vert E_{n}\right\rangle$$

($D$ - eine reelle Zahl). Der Operator $D\hat{I}-\hat{H}_{0}$ besitzt eine Inverse³, falls $\hat{H}_{0}$ keinen Eigenwert besitzt, dass $D$ gleich ist. Daher:

$$\left\vert E_{n}\right\rangle =\left( D\hat{I}-\hat{H}_{0}\r... ...right) \hat{I}+\hat{W}\right] \left\vert E_{n}\right\rangle .$$

Benutzen wir jetzt die Projektionsoperatoren:

$$\begin{eqnarray*} \left\vert E_{n}\right\rangle &=&\hat{P}_{n}\left\vert E_{n}\r... ...n}\right) \hat{I}+\hat{W}\right] \left\vert E_{n}\right\rangle . \end{eqnarray*}$$

Die Gleichung lässt sich iterieren. Der Operator $\hat{Q}_{n}$ kommutiert mit

$$\left( D\hat{I}-\hat{H}_{0}\right) ^{-1}=D^{-1}\frac{1}{\hat... ...D^{-1}\left( 1+D^{-1}\hat{H}_{0}+D^{-2}\hat{H}_{0}+...\right)$$

und ist idempotent, $\hat{Q}_{n}\hat{Q}_{n}=\hat{Q}_{n}$. Daher

$$\left\vert E_{n}\right\rangle =\left\vert E_{n}^{(0)}\right\... ...at{W}\right] \right\} ^{m}\left\vert E_{n}^{(0)}\right\rangle$$

Die Niveauverschiebung ist dann

$$E_{n}-E_{n}^{(0)}=\left\langle E_{n}^{(0)}\right\vert \hat{W... ...{W}\right] \right\} ^{m}\left\vert E_{n}^{(0)}\right\rangle .$$

Da $\hat{Q}_{n}\frac{1}{D\hat{I}-\hat{H}_{0}}\hat{Q}_{n}$ das Niveau $n$ aus der Summierung ausschliesst, ist es eigentlich möglich $D=E_{n}^{(0)}$ anzunehmen. Daher bis zum $m=1$

$$E_{n}-E_{n}^{(0)}=\left\langle E_{n}^{(0)}\right\vert \hat{W... ... \hat{I}+\hat{W}\right] \left\vert E_{n}^{(0)}\right\rangle .$$

Formen wir das 2. Glied um durch explizite Ausschreibung von dem ersten $\hat{% Q}_{n}$

$$\begin{eqnarray*} &&\left\langle E_{n}^{(0)}\right\vert \hat{W}\hat{Q}_{n}\frac{... ...ht) \hat{I}+\hat{W}% \right] \left\vert E_{n}^{(0)}\right\rangle \end{eqnarray*}$$

Schreiben wir den zweiten $\hat{Q}_{n}$ explizit aus:

$$\begin{eqnarray*} &&\sum_{m\neq n}\sum_{k\neq n}\left\langle E_{n}^{(0)}\right\v... ...\right\vert \hat{W}\left\vert E_{n}^{(0)}\right\rangle \right] . \end{eqnarray*}$$

Der Operator $\frac{1}{E_{n}^{(0)}\hat{I}-\hat{H}_{0}}$ ist in der Energiedarstellung des ungestörten Problem diagonal, so dass

$$\left\langle E_{k}^{(0)}\right\vert \frac{1}{E_{n}^{(0)}\hat... ...}\right\rangle =\frac{1}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}\delta _{km}$$

und die Summe über $k$ entfällt. $\left\langle E_{m}^{(0)}\right\vert \left( E_{n}^{(0)}-E_{n}\right) \hat{I}\left\vert E_{n}^{(0)}\right\rangle =\left( E_{n}^{(0)}-E_{n}\right) \delta _{mn}$, und gibt keinen Beitrag für $m\neq n$. Man erhällt also

$$E_{n}-E_{n}^{(0)}=\left\langle E_{n}^{(0)}\right\vert \hat{W... ...0)}\right\rangle \right\vert ^{2}} {E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}},$$

unsere gewohnte Gleichung für die Störungstheorie 2. Ordnung.

Die Wahl $D=E_{n}$, noch unbekannter Energie, ergibt gleichermassen in 2. Ordnung

$$E_{n}-E_{n}^{(0)}=\left\langle E_{n}^{(0)}\right\vert \hat{W... ...{n}^{(0)}\right\rangle \right\vert ^{2}} {E_{n}-E_{m}^{(0)}},$$

das Brillouin-Wigner'sches Resultat.