Klassischer Limes der Quantenmechanik. Quasiklassische Näherung.

In hinreichend stetigen äußeren Feldern und für grosse Impulse des Teilchens (kleine de-Broglie-Wellenlänge) unterscheidet sich das Verhalten des Teilchens nur wenig von den klassischen Vorhersagen. Wir untersuchen jetzt den Übergang von der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik, der formal dem Übergang von der Wellenoptik zur geometrischen Optik analog ist. Wir konzentrieren uns auf die Situation ohne Magnetfeld.

Man kann der Grenzübergang von der Quantenmechanik zur klassischen Mechanik am einfachsten untersuchen, wenn man der Wellenfunktion in der form

$$\Psi (\mathbf{r},t)=\exp \left[ \frac{i}{\hbar }S(\mathbf{r},t)\right]$$

darstellt. Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung

$$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi (\mathbf{r},t)=\left[ -\hbar ^{2}\Delta +U(\mathbf{r})\right] \Psi (\mathbf{r},t)$$

ergibt für $S(\mathbf{r},t)$

$$-\frac{\partial S}{\partial t}=\frac{(\nabla S)^{2}}{2m}+U(\mathbf{r})-\frac{% i\hbar }{2m}\Delta S.$$

Vergleichen wir das mit der Hamilton-Jakobischen Gleichung der klassischen Mechanik

$$-\frac{\partial S_{0}}{\partial t}=\frac{(\nabla S_{0})^{2}}{2m}+U(\mathbf{r}% )$$

mit der klassischen Wirkungsfunktion

$$S_{0}(\mathbf{r},t)=\int_{0}^{t}\mathcal{L}(\mathbf{r,\dot{r}},t^{\prime })dt^{\prime },$$

so sehen wir dass die letzte den Grenzfall der ersten mit $\hbar \rightarrow 0$ darstellt.

(Zur Erinnerung: Die Bahnkurven des klassischen Teilchens sind normal zu Flächen $S=const$: Da $p_{i}=\partial \mathcal{L}/\partial \dot{q}$ bekommt man

$$\frac{d}{dt}\mathbf{p}-\nabla \mathcal{L}=0$$

(die Bewegungsgl.) und $\mathbf{p}=\int_{0}^{t}\left( \frac{d}{dt}\mathbf{p}% \right) dt^{\prime }=\nabla S_{0}$. Im einfachsten Fall $\mathcal{L}=T-U$, ist somit die HJ-Gleichung eine Identität $T=p^{2}/2m$).

Wir wollen feststellen, wann eine klassischen Beschreibung möglich ist. Wir konzentrieren uns auf stationäre Zustände. Daher

$$\Psi (\mathbf{r},t)=\psi (\mathbf{r)\exp }\left( -i\frac{Et}{\hbar }\right) .$$

Die Zeitabhängigkeit spaltet sich ab:

$$S(\mathbf{r},t)=s(\mathbf{r})-Et.$$

Dabei bekommen wir

$$\frac{(\nabla s)^{2}}{2m}+U(r)-E-\frac{i\hbar }{2m}\Delta s=0.$$ (18)

Der Übergang zur klassischen Mechanik erfolgt durch $\hbar \rightarrow 0$: $s(\mathbf{r})\rightarrow s_{0}(\mathbf{r})$:

$$\frac{(\nabla s_{0})^{2}}{2m}+U(\mathbf{r})-E=0.$$ (19)

Die Funktion $s_{0}(\mathbf{r})$ ist mit dem Impuls des Teilchen durch $% \mathbf{p}(\mathbf{r})=\nabla s_{0}(\mathbf{r})$ verbunden. Die Näherung von Gl.(18) durch die Gl.(19) ist dann möglich wenn das letzte Glied klein ist im Vergleich mit dem ersten:

$$(\nabla s)^{2}\gg \hbar \Delta s$$

i.e. wenn

$$p^{2}\gg \hbar \left\vert \mathrm{div}\mathbf{p}\right\vert .$$

Im Spezialfall eindimensionaler Bewegung wird aus der Ungleichung

$$1\gg \frac{\hbar \left\vert \frac{dp}{dx}\right\vert }{p^{2}}.$$

Unter Verwendung von $p=\sqrt{2m(E-U)}$ kann man diese Ungleichung auch in anderer Form schreiben:

$$p^{3}\gg m \hbar \left\vert \frac{\partial U}{\partial x}\right\vert .$$

Daraus folgt, dass wir ein quantenmechanischen System genähert klassisch behandeln können wenn die Teilchen große Impulse besitzen und sich in einem Feld mit kleinen Gradienten bewegen.

Wenn wir $p$ durch die de-Broglie-Wellenlänge ausdrucken, bekommen wir

$$\frac{1}{2\pi }\frac{\partial \lambda }{\partial x}\ll 1$$

Die Änderung der Wellenlänge auf der Strecke $\lambda /2\pi$ muß sehr klein gegenüber der Wellenlänge sein. Ist die Abmessung des Systems $l$, so gilt $\partial \lambda /\partial x\simeq \lambda /l$:

$$\lambda \ll l.$$