Die Algebra der Kommutatoren

4 Grundregeln:

$$\left[ \hat{A},\hat{B}\right] = -\left[ \hat{B},\hat{A}\right] ;$$ (38)

$$\left[ \hat{A},\hat{B}+\hat{C}\right] = \left[ \hat{A},\hat{B}\right] +\left[ \hat{A},\hat{C}\right] ;$$ (39)

$$\left[ \hat{A},\hat{B}\hat{C}\right] = \left[ \hat{A},\hat{B}\right] \hat{C} +\hat{B}\left[ \hat{A},\hat{C}\right] ;$$ (40)

$$\left[ \hat{A},\left[ \hat{B},\hat{C}\right] \right] +\left[ \hat... ...C},\hat{A}\right] \right] +\left[ \hat{C},\left[ \hat{B},\hat{A}\right] \right] = 0.$$ (41)

Durch die wiederhohlte Anwendung von (40) bekommt man

$$\left[ \hat{A},\hat{B}^{n}\right] =\sum_{s=0}^{n}\hat{B}^{s}\left[ \hat{A}, \hat{B}\right] \hat{B}^{n-s-1}.$$

Anhand dieser Regel kann man auch den Kommutator $\left[ \hat{A},f(\hat{B})\right]$ ausrechnen, falls $f(x)$ eine konvergierende Taylor-Reihe besitzt.

Beispiele: Kommutationseigenschaften für Drehimpuls:

$$\begin{eqnarray*} \left[ \hat{l}_{x},\hat{l}_{y}\right] &=&i\hbar \hat{l}_{z} \\... ... \\ \left[ \hat{l}_{z},\hat{l}_{x}\right] &=&i\hbar \hat{l}_{y} \end{eqnarray*}$$

Die Komponenten des Drehimpulses kommutieren nicht miteinander. Die Komponenten des Drehimpulses besitzen keine gemeinsamen VONS. I.A. können die 2 Komponenten des Drehimpulses gleichzeitig gemessen werden (abgesehen von der Situation für $l_{x}=l_{y}=l_{y}=0$). Aus (40) folgt

$$\begin{eqnarray*} \left[ \hat{l}_{z},\hat{l}_{x}^{2}\right] &=&i\hbar (\hat{l}_{... ...}\hat{l}_{y}) \\ \left[ \hat{l}_{z},\hat{l}_{z}^{2}\right] &=&0 \end{eqnarray*}$$

Zusammenaddiert

$$\left[ \hat{l}_{z},\mathbf{\hat{l}}^{2}\right] =0$$

mit $\mathbf{\hat{l}}^{2}=\hat{l}_{x}^{2}+\hat{l}_{y}^{2}+\hat{l}_{z}^{2}$. Die Operatoren $\mathbf{\hat{l}}^{2}$ und $\hat{l}_{z}$ kommutieren, d.h. sie können gleichzeitig gemessen werden. Die Paare $\mathbf{\hat{l}}^{2}$ und $\hat{l}_{x}$ und $\mathbf{\hat{l}}^{2}$ und $\hat{l}_{y}$ besitzen die gleiche Eigenschaft.