Zeitliche Änderung der statistischen Verteilungen. Bewegungsintegrale.

Wir interessieren uns für die zeitliche Änderung einer Messbaren $A$,

$$\left\langle A\right\rangle =\left\langle \Psi \vert\hat{A}\Psi \right\rangle =\int \Psi ^{*}\hat{A}\Psi d\mathbf{r}$$

Die Zeitliche Entwicklung der WF ist durch die SGl. gegeben:

$$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\hat{H}\Psi$$

und

$$-i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi ^{*}=\hat{H}\Psi ^{*}.$$

Daher

$$\frac{d}{dt}\left\langle \hat{A}\right\rangle =\left\langle ... ...vert\hat{A}% \frac{\partial }{\partial t}\Psi \right\rangle .$$

Das mittlere Glied ist 0 wenn $A$ nicht explizit von der Zeit abhängig ist. Unter Benutzung der SGl und der Hermite'schen Natur von $\hat{A}$

$$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}\left\langle \hat{A}\right\rangle &=&-\frac{1}{i\h... ...+\left\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right\rangle . \end{eqnarray*}$$

• Für jede Messbare, deren Operator $\hat{A}$ nicht explizit von der Zeit abhängt und mit dem Hamiltonian kommutiert $\left[ \hat{A},\hat{% H}\right] =0$ gilt
  
  $$\frac{d}{dt}\left\langle \hat{A}\right\rangle =0,$$
  
  
  d.h. $\left\langle \hat{A}\right\rangle =const$. Man sagt, dass $\hat{A}$ ein Bewegungsintegral ist.

• Wenn $\left[ \hat{A},\hat{H}\right] =0$ so gilt auch $\left[ e^{i\xi \hat{A}},\hat{H}\right] =0$. Daher
  
  $$\frac{d}{dt}\left\langle e^{i\xi \hat{A}}\right\rangle =0.$$
  
  
  Da $\left\langle e^{i\xi \hat{A}}\right\rangle$ die charakteristische Fkt. der Verteilung der Messergebnisse darstellt, bleibt diese Verteilung auch zeitunabhängig.

• Wenn die WF des Systems bei $t=0$ eine EF von $\hat{A}$ zur EW $a$ war, so wird diese Funktion im Laufe der Zeit, bis auf den Phasenmultiplikator $% e^{i\varphi (t)}$ erhalten. Die Energie $E$ und der Wert von $a$ bleiben erhalten. Man sagt dass $a$ eine gute Quantenzahl ist.

Beispiel: Die Parität. Die Parität ist eine Observable deren Operator (in 1d) durch

$$\hat{P}\psi (x)=\psi (-x).$$

gegeben ist. $\hat{P}$ ist Hermite'sch, und $\hat{P}^{2}=1$. Daher sind die EW von $\hat{P}$ $p_{1,2}=\pm 1$. $p=1$ entspricht der geraden WF und $p=-1$ den ungeraden WF. Wenn $\hat{H}$ invariant gegen den Wechsel $x\rightarrow -x$ ist, so kommutiert $\hat{H}$ mit $\hat{P}$. $\hat{H}$ ist eine Fkt.

$$\hat{H}\left( -i\hbar \frac{d}{dx},x\right) =\hat{H}\left( i\hbar \frac{d}{dx},-x\right)$$

so gilt es für jede $\psi (x)$

$$\hat{P}\hat{H}\psi (x)=\hat{H}\left( i\hbar \frac{d}{dx},-x\... ...i\hbar \frac{d}{dx},x\right) \psi (-x)=\hat{H}\hat{P}\psi (x).$$

Wenn die WF bei $t=0$ eine definierte Parität hat, so bleibt dieser Wert erhalten. Die gleiche Eigenschaft gilt in höheren Dimensionen und für die Vielteilchensysteme. Der Operator $\hat{P}$ entspricht dann dem Wechsel $\mathbf{r}_{i}\rightarrow -\mathbf{r}_{i}$.