Zustandsvektoren und Operatoren als Matrizen.

Die Zustandsvektoren (oder Ket-Vektoren $\left\vert \psi \right\rangle$) spannen einen Hilbertraum $H$ auf. Wir betrachten zunächst die Operatoren nur mit diskretem Spektrum; die Funktionen $\left\vert \phi _{n}\right\rangle$ bilden ein VONS der Funktionen. Jede $\left\vert \psi \right\rangle$ kann dann folgendermassen dargestellt werden

$$\left\vert \psi \right\rangle =\sum_{n}\left\vert \phi _{n}\right\rangle \left\langle \phi _{n}\vert\psi \right\rangle$$

(das ist genau unsere $\sum_{n}c_{n}\left\vert \phi _{n}\right\rangle$ mit $% c_{n}=\left\langle \phi _{n}\vert\psi \right\rangle$). Eigentlich ist ein Operator

$$\hat{I}=\sum_{n}\left\vert \phi _{n}\right\rangle \left\langle \phi _{n}\right\vert$$

ein Einheitsoperator in $H$: $\left\vert \psi \right\rangle =\hat{I}\left\vert \psi \right\rangle$.

Der Funktion $\left\vert \psi \right\rangle$ kann dann ein Spaltenvektor gegenübergestellt werden:

$$\left\vert \psi \right\rangle \rightarrow \mathbf{\psi }=\le... ..._{2} \\ \vdots \\ \psi _{m} \\ \vdots \end{array}\right) .$$ (42)

(mit $\psi _{n}=c_{n}$, das sind jetzt Zahlen, keine Funktionen). Diese Spaltenvektoren erfüllen die Axiome eines Hilbert-Raums, und können als Elementen veines Hilbert-Raums angesehen werden.

Betrachten wir nun einen auf die Funktion $\left\vert \psi \right\rangle$ wirkenden Operator $\hat{A}$: $\left\vert \chi \right\rangle =\hat{A}\left\vert \psi \right\rangle$. Für $\hat{A}$ gilt:

$$\hat{A}=\hat{I}\hat{A}\hat{I}=\sum_{m,n}\left\vert \phi _{n}... ...phi _{n}\right\rangle A_{nm}\left\langle \phi _{m}\right\vert$$

mit $A_{nm}=\left\langle \phi _{n}\right\vert \hat{A}\left\vert \phi _{m}\right\rangle$. Die $A_{nm}$ heissen die Matrizenelementen von $\hat{A}$, die Werte von diesen sind durch die Festlegung der Basis $\left\{ \left\vert \phi _{n}\right\rangle \right\}$ eindeutig festgelegt. Den ganzen Operator kann man dann als Matrix schreiben:

$$\mathbf{A}=\left( A_{nm}\right) =\left( \begin{array}{lllll... ... & ... \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \end{array}\right) .$$

Wenn die Funktion $\left\vert \psi \right\rangle$ durch einen Vektor (42) dargestellt wird, so wird die Funktion

$$\left\vert \chi \right\rangle =\sum_{m,n}\left\vert \phi _{n... ...ht\rangle A_{nm}\left\langle \phi _{m}\vert\psi \right\rangle$$

durch den Vektor mit Elementen $\chi _{n}=\sum_{n}A_{nm}c_{n}$ dargestellt:

$$\mathbf{\chi }=\mathbf{A\psi }.$$

• Die Eigenwertgleichung für den Operator $\hat{A}$ entspricht dann der Eigenwertgleichung für die Matrix $\mathbf{A}$:
  
  $$\mathbf{A\psi =}a\mathbf{\psi },$$
  
  
  was gewissermassen der algebraischen Gleichung
  
  $$\det \left( \mathbf{A}-a\mathbf{I}\right) =0$$
  
  
  entspricht.

• Das zu dem Ket $\left\vert \psi \right\rangle$ zugehörige Bra $% \left\langle \psi \right\vert$ entspricht dem Zeilenvektor mit Elementen
  
  $$(\psi _{1}^{*},\psi _{2}^{*},...,\psi _{m}^{*},...)$$
  
  
  (dadurch dass $\left\langle \psi \right\vert =\left\langle \psi \right\vert \hat{I}% =\sum_{n}... ...\langle \phi _{n}\vert\psi \right\rangle ^{*}\left\langle \phi _{n}\right\vert$). Das Skalarprodunkt aus Bra und Ket folgt dann der Regel der Matrizenmultiplikation:
  
  $$\left\langle \chi \vert\psi \right\rangle =(\chi _{1}^{*},\c... ...\ \vdots \end{array}\right) =\sum_{n}\chi _{n}^{*}\psi _{n}.$$
  
  

• Die Matrix des zu $\hat{A}$ adjungierten Operators $\hat{A}^{+}$ hat die Elemente $\left( A^{+}\right) _{nm}=A_{mn}^{*}$ (die ist komplex konjungiert zu der Transponierten von $\mathbf{A}$).

• Das Produkt zweier Operatoren $\hat{A}$ und $\hat{B}$ entspricht dem Matrixprodukt $\mathbf{AB}$.

• Wählt man als Basis von $H$ ein VONS der Eigenvektoren $\left\vert a_{n}\right\rangle$ von Operator $\hat{A}$, so ist die Matrix $\mathbf{A}$ diagonal: $A_{nm}=\left\langle a_{n}\vert\hat{A}\vert a_{m}\right\rangle =a_{n}\delta _{nm}$.