Darstellungen der Operatoren

In der Ortsdarstellung sind die Operatoren Funktionen der Koordinaten und der Ableitungen nach den Koordinaten. Wendet man diese auf Funktionen in Ortsdarstellung an, so ergeben sich andere Funktionen in Ortsdarstellung:

$$\psi _{b}(x)=\hat{F}\psi _{b}(x),$$ (46)

oder

$$\left\langle x\vert b\right\rangle =\left\langle x\vert\hat{F}\vert a\right\rangle .$$

Anhand von Gl.(43) wird $\hat{F}$ in Energiedarstellung durch eine Matrix $\mathbf{F}$ gegeben:

$$\left( \mathbf{F}\right) _{n,m}=\left\langle E_{n}\vert\hat{F}% \vert E_{m}\right\rangle .$$

Betrachten wir den Hamiltonoperator $\hat{H}$ in der Energiedarstellung, so entspricht dieser einer diagonalen Matrix:

$$\left( \mathbf{H}\right) _{n,m}=\left\langle E_{n}\vert\hat{H}% \vert E_{m}\right\rangle =E_{n}\delta _{nm}.$$

Betrachten wir nun die Gestalt von $\hat{F}$ in Impulsdarstellung. Dafür benutzen wir die Entwicklungen der Eigenfunktionen des Ortes in Impulsdarstellung, Gl'en (44,45). Die Gl.(43) ergibt dann

$$\left\langle p^{\prime }\vert\hat{F}\vert p\right\rangle =\i... ...at{F}\vert x\right\rangle \left\langle x\vert p\right\rangle .$$

Die Operatoren in Ortsdarstellung sind normalerweise lokal, d.h. die Werte des unabhängigen Variablen auf beiden Seiten der Gl.(46 sind gleich: diese Operatoren sind daher diagonal in der Koordinatendarstellung, so dass wir eigentlich nur 1 Integral benötigen:

$$\left\langle p^{\prime }\vert\hat{F}\vert p\right\rangle =\i... ...at{F}\vert x\right\rangle \left\langle x\vert p\right\rangle .$$

Betrachten wir nun diese Situation explizit. In Ortsdarstellung ist der Impulsoperator

$$\hat{p}=-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}.$$

Im Impulsdarstellung daher gilt:

$$\begin{eqnarray*} \left\langle p^{\prime }\vert\hat{p}\vert p\right\rangle &=&-\... ...p-p^{\prime }\right) x}{\hbar }\right] =p\delta (p^{\prime }-p). \end{eqnarray*}$$

Die Gestalt des Ortsoperator in der Impilsdarstellung ergibt sich aus

$$\left\langle p^{\prime }\vert x\right\rangle =\int dp\left\l... ...hat{x}\vert p\right\rangle \left\langle p\vert x\right\rangle$$

mit $\left\langle p\vert x\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar }}\exp \left( -% \frac{ipx}{\hbar }\right)$. Daher

$$\left\langle p^{\prime }\vert\hat{x}\vert p\right\rangle =-i... ...frac{\partial }{% \partial p^{\prime }}\delta (p^{\prime }-p).$$

(Nachprüfen durch partielle Integration!). Demnach entspricht die Koordinate in Impulsdarstellung einem Differentialoperator

$$\hat{x}=i\hbar \frac{\partial }{\partial p}.$$

Man überzeige sich direkt, dass obwohl die Gestalt der Operatoren von der Darstellung abhängt, die Kommutationseigenschaft

$$\left[ \hat{x},\hat{p}\right] =i\hbar$$

sowohl in Orts- als auch in Impulsdarstellung gilt. Für den dreidimensionalen Fall gilt:

$$\begin{array}{lll} \widehat{\vec{p}}=\vec{p}\cdot & \quad \m... ... \vec{\nabla}_{p}\delta (\vec{p}^{\prime }-\vec{p}) \end{array}$$

(der Gradient im Impulsraum wird als $\vec{\nabla}_{p}=\left( \frac{\partial }{\partial p_{x}},\frac{\partial }{\partial p_{y}},\frac{\partial }{\partial p_{z}}\right)$ definiert). Mittels dieser Gl. kann man in $p$-Darstellung die explizite Gestalt der Operatoren der Physikalischen Größen aufschreiben, die in der klassischen Physik der Funktionen der Koordinaten und Impulse entsprechen.