Allgemeine Eigenschaften der Bewegung in einem kugelsymmetrischen Feld.

Wir betrachten die SGl mit einem Hamilton-Operator

$$\hat{H}=-\frac{\hbar ^{2}}{2m}\Delta +U(r)$$

mit $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$. Vergleichen wir den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten

$$\hat{H}=\frac{-\hbar ^{2}}{2m}\left[ \frac{1}{r^{2}}\frac{\p... ...\frac{\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}\right) \right] +U(r)$$

mit einem aus unserer vorherigen Vorlesung

$$\mathbf{\hat{L}}^{2}=-\hbar ^{2}\left[ \frac{1}{\sin \theta ... ...2}\theta }\frac{\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}% \right] ,$$

so merken wir, dass

$$\hat{H}=\frac{-\hbar ^{2}}{2m}\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial ... ...l }{\partial r}+U(r)+\frac{1}{2mr^{2}}\mathbf{\hat{L}}% ^{2}.$$

Der Hamilton-Operator ist eine Summe aus dem radialen Anteil, der winkelunabhängig ist, und $1/\left[ 2J(r)\right] \mathbf{\hat{L}}^{2}$ mit $J(r)=mr^{2}$ -Trägheitsmoment. Der Operator $\mathbf{\hat{L}}^{2}$ wirkt nur auf die Funktionen von $\theta$ und $\phi$, und hängt nicht von $r$ ab. Die SGl.

$$\hat{H}\psi =E\psi$$

erlaubt dann die Variablentrennung: Wenn man annimmt, dass $\psi (r,\theta ,\phi )=F(r)W(\theta ,\phi )$ so erhält man

$$W(\theta ,\phi )\left[ \frac{-\hbar ^{2}}{2m}\frac{1}{r^{2}}... ...}}\mathbf{\hat{L}}^{2}W(\theta ,\phi )=EF(r)W(\theta ,\phi ),$$

oder

$$-\frac{2mr^{2}}{F(r)}\left[ \frac{\hbar ^{2}}{2m}\frac{1}{r^... ...c{1}{W(\theta ,\phi )}\mathbf{\hat{L}}% ^{2}W(\theta ,\phi ).$$

Die Lösung bei beliebigen $r,\theta$ and $\phi$ existiert nur dann, wenn beide Teile der Gl. konstant sind. Diese Lösung muss der natürlichen Randbedingungen genügen, d.h.

$$\int_{0}^{\infty }dr\int_{0}^{2\pi }d\phi \int_{0}^{\pi }d\t... ...ta \left\vert \psi (r,\theta ,\phi )\right\vert ^{2}<\infty .$$

Die Lösungen für den Winkelanteil sind daher

$$Y_{lm}(\theta ,\phi );$$

die Abhängigkeit der WF von $\theta$ and $\phi$ wird durch die Werte

$$L^{2}=\hbar ^{2}l(l+1),\quad l=0,1,2,...$$

und

$$L_{z}=\hbar m,\quad m=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm l.$$

Der radiale Anteil der WF genügt dann der Gl.

$$-\frac{2mr^{2}}{F(r)}\left[ \frac{\hbar ^{2}}{2m}\frac{1}{r^... ...\right] F(r)+2mr^{2}\left[ U(r)-E\right] -\hbar ^{2}l(l+1)=0.$$

Führen wir $R(r)=rF(r)$ ein, so erhalten wir

$$-\frac{\hbar ^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dr^{2}}R+\left[ U(r)+\frac{\hbar ^{2}l(l+1)}{2mr^{2}}\right] =ER$$

(die radiale SGl). Bei der qualitativen Untersuchung der Bewegung enspricht der Term $\hbar ^{2}l(l+1)/2mr^{2}$ der ''effektiven potentiellen Energie''.